SOS-MATH

Bonjoue j'ai un DM aà rendre pour mardi prochain, et j'ai vraiment du mal :S
Est-ce que vous pouvez m'aider svp, merci =)

F est une fonction définie et dérivable sur R telle que:
F(0)=0 et pour tout réel x, F'(x)=1/(1+x²)
on admet que cette fonctoin existe et on ne cherchera pas à donner une expresssion de F(x). C est la courbe représentant F dans un repère orthonormal.
1.G est la fonction définie sur R par: G(x)=F(x)+F(-x)
a) Justufier que G est dérivable sur R et calculer G'(x). Que peut-on déduire pour G?
b) Calculer G(0), en déduire que F est une fonciton impaire.
2. H est la fonciton définie sur I=]0;+infini[ par: H(x)=F(x)+F(1/x)
a) Justifier que H est dérivable sur I et calculer H'(x);que peut-on dire de H? en déduire que pour tout x e I, H(x)=2F(1)
b) Calculer lim quand x tend vers + infini de F(1/x), en déduire que lim quand x tend vers + infini de F(x)=2F(1).
Quelle est la conséquence graphique de ce résultat?
3. K est la fonction définie sur ]-pi/2;pi/2[ par: K(x)=F(tan x)-x
a) Calculer K'(x). En déduire que, pour tout x de ]-pi/2;pi/2[, K(x)=0
b) Calculer F(1).(on rappelle que tan(pi/4)=1)
4. Dresser le tableau de variation de F sur R.
5. Construire les asymptotes à la courbe C, ses tangentes aux points d'abscisses -1, 0 et 1 et donner l'allure de la courbe C.


Florian

Bonjour Florian,

On veut bien t'aider, mais il ne sert à rien d'écrire tout l'énoncé.
On ne répondra qu'à la première question et ensuite il faudra nous apporter la preuve que tu as cherché.

Pour la première question:
F(-x) correspond à la composée de la fonction F avec la fonction qui donne l'opposé de x.
Cette deuxième fonction est dérivable quelque soit x, et F est aussi dérivable quelque soit x.
Donc F(-x) est dérivable quelque soit x et la dérivée de F(-x) est égale à \(F'(-x)\times(-1)\).
La fonction G est donc la somme de deux fonctions dérivables quelque soit x, donc G est dérivable et:
G'(x)=F'(x)+[F(-x)]'=F'(x)-F'(-x)=\(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+(-x)^2}=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}=0\)
Donc la fonction G est constante.

A vous de poursuivre.

G(0) = 0
et f(x)+f(-x)=0 <=> f(x)= -f(x)
donc f impaire

Florian

OK, mais il manque un "-"

f(x)=-f(-x)

sosmaths

a oui j'ai fais une faute :s

Je n'ai pas reussi a faire ca :
que peut-on dire de H? en déduire que pour tout x e I, H(x)=2F(1)
:S
surtout la 2e partie de la question

Florian

Bonjour,

Normalement, H' est la fonction nulle. Que dire alors de la fonction H ?

bon courage

sos math

si H est nulle, alors la fonction est constante, mais je ne vois pas le rapport avec 2F(1) :s

Florian

j'ai un probleme dans le calcul de H'
H'(x) = f(x) + f(1/x)
= 1/1+x² + 1/1+(1/x)²
=1/1+x² + x²/2

ca ne fait pas 0 :s

Florian

Bonjour,

La fonction H est définie ainsi:H(x)=F(x)+F(1/x) sur ]0;+inf[.
La fonction 1/x est dérivable sur ]0;+infi[( et a pour intervalle image:]0;+infi[), la fonction F est dérivable aussi sur ]0;+infi[.
Donc la fonction F(1/x) est dérivable.
Et attention \([F(1/x)]'=F'(1/x)\times[1/x]'\) (Règle de dérivation de fonctions composées)
Donc H'(x)=F'(x)+[F(1/x)]'.
Et effectuant les bons calculs on trouve que H'(x)=0, donc la fonction H est constante.
Puisqu'elle est constante, alors H(x)=H(1)=F(1)+F(1/1)=2F(1).

Envoyer nous le calcul de H'(x) si vous voulez.

h'(x) = f'(x) + [f(1/x)]' = 1/1+x² + 1/(1+(1/x)²) * -1/x² = 1/1+x^2 + -1/1+x² = 0
Merci :D

lim f(1/x) = 0
x> +oo
car lim x² = +oo donc lim 1/x² = 0

comment en deduire que la lim en +oo est 2f(1) ?

Florian

la fin de l'énoncé n'est pas la bonne, je me suis trompé en recopiant x)
3) T est la fonction définie sur ]-pi/2 ; pi/2[
T(x) = F(tan x) -x
a) calculez T'(x)
qu'en déduisez vous pour la fonction T ?
b) calculez F(1)

4) dréssez le tableau de variation de F sur R

5) tracez la courbe C, et ses asymptotes & tangentes aux points d'abcisses -1 0 et 1

voila =)

je n'arrive pas la 2)b.

Vous savez que F(0) = 0.

sos math

f(0) = 0 sert a deduire l limite en 2f(1) ?

je n'ai aps reussi la 2b et c
mais j'ai fais la 3a
T(x) = F(tan x) - x

T'(x) = F'(tan x) * (tan x)' - 1
= 1/ (1+ tan²x) * 1/ (cos²x) - 1
= 1 / [ (1+ tan²x) * cos²x) ] - 1
= 1 / (cos²x + sin²x) - 1
= 0
Donc la focntion T est constante.
3.b)
calculez F(1)
je n'arrives pas :S

Florian

Effectivement F(0)=0 sert pour la limite:
\(\lim_{x\to+\infty}F(\frac{1}{x})=\lim_{X\to0}F(X)=F(0)=0\)

A partir de là sachant que F(x)=H(x)+F(1/x) et que H(x)=2F(1).....on peut conclure sur la limte de F quand x tend vers + l'infini.