Dérivation

[PICKA]

Bonjour à tous, voila j'ai un DM à faire et j'ai du mal à le resoudre. si quelqu'un aurait la gentillesse de m'aider, ce serait sympa.

Soit la fonction f définie sur [0;+infini[ par f(x)=sinx - x + x^3/6


A.etude de la fonction

1. Calculer les dérivées f',f'' et f'''.

2. Determiner le signe de f(x) en étudiant successivement les variations des fonctions f'', f' et f.

3. Prouver que, pour tout nombre réel x>0 x - x^3/6 < sinx <x.
quel encadrement en déduit-on pour x<0?
(toutes les inégalité c'est inférieur ou égale)
4. Soit g la fonction définie sur par g(0)=1 et, si x différent de 0, g(x) = sinx/x
Démontrer que g est continue et dérivable en 0.indiquer g'(0).


B. Utilisation d'un tableur

on se propose d'utiliser un tableur pour comparer x, sin x et x - x^3/6.

On commencera par faire varier x de -1(valeur initiale) à 1 tous les 0.1(pas).

1. Déterminer un intervalle I inclus dans [-1;1] pour lequel valeur absolue sin x - x < ou égale à 10^-3.

2. Déterminer un intervalle J inclus dans [-1;1] pour lequel valeur absolue sin x - (x-x^3/6)< ou égale à 10^-3.

3. En changeant la valeur initiale et le pas, déterminer I et J lorsqu'on remplace 10^-3 par^-4

voici mes résultat :
A_ 1° f'=cos x -1 +x²/2
f''= -sin x +x
f'''= -cos x +1
2° c'est bon aussi au finale je trouve que f est postive sur o; +infini
3° J'aurai besoin d'aide pour l'encadrement je comprend pas trop par ou commencer.. SVP
4° là c'est bon
B_ tous le B je sais pas comment faire si vous pouviez m'aider SVP
Merci d'avance :)

[sos-math(21)]

Bonsoir,
tu as prouvé que f était positive donc pour tout x>0, \(sin(x) - x +\frac{x^3}{6}>0\) donc en passant de l'autre côté, tu as \(sin(x)>x-\frac{x^3}{6}\)
Pour l'autre côté, tu peux étudier la fonction\(g(x)=sin(x)-x\), calculer la dérivée et étudier son sens de variation puis son signe.
Pour le tableur, il faut remplir une colonne avec les valeurs, une colonne avec sin(x) et une colonne avec \(x-\frac{x^3}{6}\) (il faut faire des formules), puis comparer ligne par ligne.