nombres complexe

[Fanny]

Bonjour à tous,

J'ai un exercice de maths à faire et je trouve mes résultats assez bizarre.

voici le sujet :

Le plan est rapporter à un repère (O,u,V). Soit f l'application qui à tout point M du plan d'affixe non nul z associe le point M' d'affixe : z'=(1/2)(z+(1/z))
1) Soit E le point d'affixe zE = -i. Déterminer l'affixe du point E', image de E par f.
2) déterminer l'ensemble des points M tels que M=M'
3) on note A et B les points d'affixes resp. 1 et -1. Soit M un point distinct des points O, A et B. Montrer que pour tout nombre complexe z différent de 0 1 et -1 on a
(z'+1)/(z'-1)=((z+1)/(z-1))². En déduire un expression de M'B / M'A en fonction de MB/MA puis une expression de l'angle (M'A,M'B) en fonction de l'angle ( MA,MB)

Ce que j'ai fais :

1) z'E = (1/2)(-i+(1/-i))
z'E=-1/2i -1/2i
z'E=-i

Or il me parait bizar que zE = z'E. Alors qu'il me demande de trouver l'ensemble des points M tel que M=M' dans la question 2 du coup je suis coincée.
Si quelqu'un peut m'aider svp.

Fanny.

[sos-math(21)]

Bonjour,
Je ne suis pas d'accord pour le début : tu as dû faire une erreur de calcul, il me semble, on doit trouver 0.
Pour la question 2, cela revient à résoudre $\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)=z$ on a donc $z+\frac{1}{z}=2z$ soit $z=\frac{1}{z}$, soit $z^2=1$ il te reste à résoudre cette équation.

[Fanny]

C'est exacte, je suis bloquer pour la 3 maintenant, faut il que j'utilise z = x+iy ?

[sos-math(22)]

Bonjour Fanny,
Non, je ne crois pas. Pour montrer (z'+1)/(z'-1)=((z+1)/(z-1))² il faut remplacer z' par son expression en fonction de z dans (z'+1)/(z'-1) puis simplifier.
Bonne continuation.

[Fanny]

Merci Sos maths 22 je trouve bien ((z+1)/(z-1))².

je dois déduire une expressions de M'B / M'A en fonction de MB/MA puis une expression de l'angle (M'A , M'B) en fonction de l'angle (MA, MB).

je sais que (z'+1)/(z'-1)=((z+1)/(z-1))²
--> M'A/M'B = MA² / MB²
--> M'A * MB² = MA² * M'B
--> M'B/MA = MB² / MA²

est ce que c'est la méthode à avoir ou pas ? et est ce que je peut faire pareil pour les angles ?

Fanny.

[sos-math(22)]

Une fois que tu as trouvé (z'+1)/(z'-1)=((z+1)/(z-1))², il faut que tu appliques à cette égalité le module, en étant très rigoureuse dans l'application des règles algébriques concernant le module.
puis, tu fais de même pour l'argument.
Bonne continuation.

[Fanny]

c'est ce que j'ai fais non ?

[sos-math(22)]

Non, je ne crois pas que tu aies compris.

Tu pars de : $\frac{z^{,}+1}{z^{,}-1}=(\frac{z+1}{z-1})^2$

Donc de : $\frac{z^{,}-z_B}{z^{,}-z_A}=(\frac{z-z_B}{z-z_A})^2$ puisque $z_A=1$ et $z_B=-1$.

Ensuite, tu appliques le module à cette dernière égalité et comme je te disais précédemment, tu utilises les règles algébriques avec rigueur.

Bonne continuation.