SOS-MATH

Bonsoir,
Je rencontre un problème pour la résolution d'un exercice sur les suites contractantes. Voici l'énoncé :

Soit (Un)n>=0 la suite définie par Uo=1 et Un+1 = 1 + (1/Un) pour tout entier naturel n>=0.

1) Montrer que, pour tout entier naturel n>=1, 3/2 <= Un <= 2.
2) On pose f(x) = 1 + 1/x. Montrer que si x>= 3/2 et y>= 3/2 alors |f(x) - f(y)| <= 4/9 |x-y|

3) Soit l la racine positive de l'équation f(l) = l.
a) Montrer que, pour tout entier n>=1, |U(n+1) -l | <= 4/9 |Un -l |.
b) En déduire par récurrence que, |Un -l | <= (4/9)^n-1 * |U1-l |.

4) Retrouver que lim n tendant vers +inf de Un = l.

Ce que j'ai fait :
1) J'ai réussi à montrer que Un était compris entre [3/2 ; 2] par récurrence.
2) J'aimerai avoir une piste de recherche pour le reste du DM svp.. (il est à rendre pour mercredi prochain :) ).


Merci d'avance.
Nick.

Bonsoir Nick,

Pense que si \(x\leq\frac{2}{3}\) alors \(\frac{1}{x}\geq{\frac{2}{3}}\) il en est de même pour \(y\) et son inverse, déduis-en que \(0\leq{\frac{1}{xy}}\leq{\frac{2}{3}}\times{\frac{2}{3}}\).
Calcule alors : \(f(x)-f(y)=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y-x}{xy}=(y-x)\times{\frac{1}{xy}}\) ; déduis-en les comparaisons demandées.

Ensuite utilise le fait que \(u_{n+1}=f(u_n)\).

Bon courage

Bonsoir,
On nous dit que x>= 3/2 et non pas x<= 2/3..

On a donc dans ce que vous me dites x>=3/2 alors 1/x<=3/2 et 1/y >= 3/2.
De plus |f(x) -f(y)| = |(y-x) * [ 1 / (xy) ]|

Or 0 <= |[ 1 / (xy) ]| <= 9/4.
Et comme x>= 3/2 et y>= 3/2 alors y-x >= 0.
On a alors : 0 <= |(y-x) * [ 1 / (xy) ]| <= 9/4* | y-x |
Ce qui équivaut à : 0 <= |(y-x) * [ 1 / (xy) ]| <= 4/9 * | x-y |

Est ce correct? Merci d'avance.

3)a. Mon premier instinct me dit de faire une récurrence pour montrer cette inégalité. Qu'en dites vous?

Bonjour,

En effet j'ai inversé les inégalités, il fallait bien lire \(x\geq\frac{3}{2}\) donc \(\frac{1}{x}\leq\frac{2}{3}\), pour y on a la mêmes inégalités et on peut en déduire que \(0\leq{\frac{1}{xy}}\leq{\frac{2}{3}}\times{\frac{2}{3}}\).

Donc tout ce que tu as écris ensuite me semble convenable.

En effet pour la suite le raisonnement par récurrence est bien adapté.

Bonne fin d'exercice

Bonjour,

3)a. Montrons par récurrence que la propriété " |U(n+1) -l | <= 4/9 |Un - l|" est vraie au rang n=1.
On a |U2 -l| = | 3/2 -l | et 4/9 |U1 -l| = |8/9 - 8/9*l| or | 3/2 -l | <= |8/9 - (8/9)l| donc U(2)-l <= 4/9 |U1-l| ce qui prouve la propriété vraie au rang n=1.

Supposons que pour un rang n fixé dans IN, la propriété |U(n+1) -l | <= 4/9 |Un - l| soit vraie et montrons qu'elle le reste au rang n+1.
Je ne vois pas comment faire! Je sais qu'il faut partir de l'hypothèse de récurrence pour faire apparaitre la propriété au rang n, mais je bloque.

Une aide me serait la bienvenue. :)

Bonjour,

Pour la question 3)a) tu dois utiliser le résultat de la question 2) en remarquant que f(Un)=\(U_{n+1}\), mais le raisonnement par récurrence n'est pas adapté.

pour la 3)b) récurrence.

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