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Exponentielle
Posté : dim. 30 oct. 2011 11:14
par Loulouty
Bonjour je bloque sur une question de mon exercice :
Soit f(x) = exp(x) - x.
Montrer que f(x) > 0 pour tout x réel.
J'ai réussi à le démontrer sur [0 , +oo [ , puisque f(x) est croissant de [0 , +oo[ vers [1 , +oo[ . Mais pour x C ]- oo , 0[ je n'y arrive pas.
Je pose exp (x) >0. Ça ok. Mais ensuite ?
Re: Exponentielle
Posté : dim. 30 oct. 2011 11:22
par sos-math(22)
Bonjour,
Je te conseille de dériver f, de faire son tableau de variation et d'en déduire son signe.
Bonne continuation.
Re: Exponentielle
Posté : dim. 30 oct. 2011 11:27
par Loulouty
J'ai déjà dérivé f(x).
f'(x) = exp(x) - 1. C'est comme ca que j'ai réussi à prouver pour x C [0, +oo[ f(x)>1 donc f(x)>0. Mais je n'y arrive pas pour ]-oo, 0[
Re: Exponentielle
Posté : dim. 30 oct. 2011 11:29
par sos-math(22)
f ' (x) \(\geq\)0 si et seulement si x\(\geq\)0.
Par conséquent :
f ' (x) <0 si et seulement si x<0.
Ensuite, tu fais le tableau des variations de f en remarquant que f(0)=...
Re: Exponentielle
Posté : dim. 30 oct. 2011 12:03
par Loulouty
Merci je suis bête de ne pas y avoir pensé !
Re: Exponentielle
Posté : dim. 30 oct. 2011 12:53
par sos-math(22)
Il faut juste retenir la méthode : on étudie les variations de f afin d'en déduire l'étude de son signe. Mais attention, cette méthode ne marche pas toujours aussi facilement...
Au fait, tu as bien trouvé f(0)=1 afin d'en déduire que 1 est le minimum de f sur R ; donc que f(x)\(\geq\)0 pour tout x réel ?
Bonne continuation.