SOS-MATH

Bonjour,

Je solicite votre aide sur une limite qui me pose problème.

La fonction g(x)=\(e^{x}\times\sin(x)\) admet t'elle une limite en \(+\infty\)? en \(-\infty\)? Si oui la calculer.

J'ai fais le cacul suivant en \(-\infty\):

\(\lim_{x \to -\infty}e^{x}\sin(x)\) = \(\lim_{x \to -\infty} \frac {\sin(x)}{e^{-x}}\)=0

Car on a \(\frac {-1}{e^{-x}} \leq \frac {sin(x)}{e^{-x}} \leq \frac {1}{e^{-x}}\) et on sait que \(\lim_{x \to -\infty} \frac {1}{e^{-x}}\)=\(\lim_{x \to -\infty} \frac {-1}{e^{-x}}\)=0.

Cependant en \(+\infty\) je ne sais pas si c'est juste:

\(\lim_{x \to +\infty}e^{x}\sin(x)\) = \(\lim_{ x \to +\infty}x \times e^{x} \times \frac {sin(x)}{x}\)=0

Car on sait que le \(\lim_{x \to +\infty}\frac {sin(x)}{x}\) vaut 0 d'après le théorème d'encadrement.

Merci de votre réponse.

Bonjour,

Une petite chose avant de commencer : merci de vous connecter avec votre prénom la prochaine fois, cela rend les échanges plus conviviaux.

Pour votre première limite, pas de problème tout me semble correct.

Pour la limite en \(+\infty\), votre conclusion est incorrecte puisqu'il y a une forme indéterminée dont vous ne tenez pas compte : votre résultat de limite est faux ( pour vous en assurer, regardez l'allure de la courbe représentative de la fonction à l'écran d'une calculatrice par exemple). Je m'étonne qu'on ne vous ait pas guider pour cette limite-là : en quelle classe êtes-vous ?

Bonne journée.

SOS-math

C'est mon vrai prénom. Il est seulement d'origine anglosaxon.

Je suis en terminale, c'était un exercice de recherche donc on a pas forcément eu plus d'explication deçu, pourrais-je avoir une indication pour essayer de résoudre ce problème s'il vous plait.
Je vous en remercie par avance.

Bonjour,

Peut-être pourriez-vous regarder la courbe représentative de la fonction à l'écran de votre calculatrice; cela vous donnera une idée de la bonne réponse.

Bonne journée.

SOS-math

J'obtiens graphiquement une \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\)
Est-ce-ceci? C'est que mon soucis après je ne vois pas comment faire pour obtenir une forme simplifié de l'expression pour en avoir la limite.

Bonjour,

J'ai encadré la fonction :

\({-1} \leq \sin(x) \leq {1}\)

\({e^{-x}} \leq e^{x} \times \sin(x) \leq {e^{-x}\)

\(\frac{-1}{e^{-x}} \leq e^{x} \times \sin(x) \leq \frac{1}{e^{-x}\)

Or \(\lim_{x \to +\infty} \frac{-1}{e^{-x}} = -\infty\)

D'ou \(\lim_{x \to +\infty} e^{x} \times \sin(x) = -\infty\)

Est-ce-juste?

Bonsoir,
Je vous cite et je vous "corrige" :
Bonjour,

J'ai encadré la fonction :

\({-1} \leq \sin(x) \leq {1}\) Oui, on est d'accord

\({e^{-x}} \leq e^{x} \times \sin(x) \leq {e^{-x}\) Non : vous multipliez par \(e^x\) donc on a \({-}{e^{x}} \leq e^{x} \times \sin(x) \leq {e^{x}\)

\(\frac{-1}{e^{-x}} \leq e^{x} \times \sin(x) \leq \frac{1}{e^{-x}\)

Or \(\lim_{x \to +\infty} \frac{-1}{e^{-x}} = -\infty\)

D'ou \(\lim_{x \to +\infty} e^{x} \times \sin(x) = -\infty\) cela ne marche pas car il faudrait majorer (inférieur à) et pas minorer (vous prenez la fonction minorante).
Reprenez la fonction majorante et regardez en \({-}\infty\) : on a une limite.

Est-ce-juste?

Oups oui je m'éttais éffectivement trompé dans cet étape intermédiaire comme je l'avais copier-coller et j'avais oublié de changer le -x en x dans l'expression.

En prenant la fonction majorante qui est : \(\frac {1}{e^{-x}}\) j'obtient la limite suivante \(\lim_{X \to +\infty} \frac {1}{e^{-X}} = \lim_{X \to 0^{+}} \frac {1}{{X}} = +\infty\)

Or je devrais obtenir \(-\infty\) d'après la calculatrice. Donc, je ne sais pas qu'elle conclusion je peux apporter au problème.