SOS-MATH

Bonjour, j'ai un DM sur les nombres complexes à rendre le 3 novembre, voici l'énoncé :
I) On considère l'équation (E) z² = -9 -40i.
1)a) On pose z = a + ib. Montrer que z est solution de (E) si et seulement si on a :
{a²-b² = -9
{ab = -20
{a²+b² = 41
b) En déduire les solutions de (E).
2) Résoudre dans C, l'équation z^4 + 18z² + 1681 = 0.

II) On pose z = x + iy (s et y réels)
a) On considère, pour z différent de 1, le complexe Z = (z - 2i)(conjugué de z + 3)
Exprimer en fonction de x et de y la forme algébrique de Z.
b) Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z pour lesquels Z est un réel.
c) Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z pour lesquels Z est un imaginaire pur.


Dans le I), je n'ai pas compris comment utiliser les 3 égalités pour montrer que z est solution de (E). Pour la question 2), j'ai posé Z = z² et j'ai utilisé le discriminant. Cepdendant je trouve un nombre négatif. Je pense donc qu'il y a une autre solution pour résoudre l'équation mais dans ce cas, je ne sais pas laquelle. Dans le II) a), j'ai remplacé z par x + iy et le conjugué de z par x iy. Mais je ne sais pas si ce que je trouve est bon (je trouve Z = x(x+3) - iy (iy + 2iy + 3iy + x +6). Etant donné que l'on a à peine vu les affixes, je ne sais pas comment répondre aux questions b) et c).
Merci d'avance de votre aide.

Bonjour :

Juste pour t'aider à démarrer :

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.

Cela devrait te permettre de débuter ton dm.

Bonne continuation.

Bonjour,
j'ai demandé à un prof de maths que je connais de me donner des pistes. Voici ce qu'il m'a donné :
z²=a²-b²+i(2ab) on identifie : a²-b²=-9 et 2ab=-40
mais aussi |z|=[-9-40i|=rac(1681)=41 et |z|=rac(a²+b²)
de a²-b²=-9 et a²+b²=1681 on tire 2a²=1672 soit a=±rac(836)
et b²=836+9 donne b=±rac(845)
cela donne a priori 4 solutions mais 2 seulement vont vérifier ab=-20

Est-ce bon ? En revanche, je n'ai pas compris tout ce qu'il a écrit, pouvez-vous m'éclairer parce que lui trouve ça simple.

Bonjour Florian,

je précise que rac(1681)=41.

Donc résous le système obtenu.

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