SOS-MATH

Bonjour,
Voilà, je viens de nouveau faire appel à vous suite à un problème en spé maths...

Je vous donne l'énoncé de mon exercice
"Etant donné un entier naturel n supérieur ou égal à 2, on se propose d'étudier l'existence de trois entiers naturels x, y et z tels que x² + y² + z² est congru à 2^n -1 modulo 2^n"

Partie A.
1. Dans cette question on pose n = 2. Montrer que 1, 3 et 5 satisfont à la condition précédente.
==> Je voulais savoir car la consigne ne me semble pas très clair...
Je teste avec x = 1, y = 3 et z =5 (ce qui marche) ou bien dans 3 cas je fais 1 1 1, 3 3 3 et 5 5 5 ?


2. Dans cette question on pose n = 3
a. Soit m un entier naturel. Reproduire le tableau ci-dessous donnant le reste r de la division euclidienne de m par 8 et le reste R de la division euclidienne de m² par 8
r 0 1 2 3 4 5 6 7
R 0 1 4 9 16 25 36 49

On obtient m² congru à 0 mod 8
m² congru à 1 mod 8
m² congru à 4 mod 8
m² congru à 9 mod 8, soit congru à 1 mod 8
m² congru à 16 mod 8, soit congru à 0 mod 8
m² congru à 25 mod 8, soit congru à 1 mod 8
m² congru à 36 mod 8, soit congru à 4 mod 8
m² congru à 49 mod 8, soit congru à 1 mod 8


b. Peut-on trouver trois entiers naturels x, y et z tels que x² + y² + z² soit congru à 7 mod 8 ?
==> J'ai mis qu'il faut que x² + y² + z² soit impair car x² + y² +z² -7 = 8k
x² + y² + z² = 8k +7
x² + y² + z² = 2(4k +3)+1

On sait que la somme de deux nombres pairs est paire (genre 2p + 2q = 2 (p +q))
On sait également que la somme d'un nombre impair et d'un nombre pair est impair (genre 2p + 2q+1 = 2(p+q) +1)
La somme de deux nombres impairs est aussi paire (genre 2p+1 + 2q +1 = 2 (p+q +1))

Donc la somme de trois entiers impairs sera impaire, ou alors la somme de 2 entiers pairs + un entier impair donnera un entier impair.
(Je sais pas si je devais partir des carrés pour justifier cela, genre le carré d'un entier impair est impair... etc)

On a donc 2 possibilités ; soit 3 nombres impairs, soit 1 nombre impair et deux nombres pairs
Donc on peut faire {0 ; 0 ; 1} ou {1 ; 1 ; 1} ou encore {0 ; 1 ; 4}

Si x = 1, y = 1 et z = 1
On a 3 est congru à 7 modulo 8 donc impossible

Si x = 0, y = 1 et z = 1
On a 2 est congru à 7 modulo 8 donc impossible

Si x = 0, y = 1 et z = 4
On a 17 est congru à 7 modulo 8 donc impossible

Il n'y a donc pas de possibilité pour que x² + y² + z² soit congru à 7 modulo 8.


Partie B.
On suppose qu'il existe trois entiers naturels x, y et z tels que x² + y² + z² soit congru à 2^n - 1 modulo 2^n

a. Justifier le fait que les trois entiers naturels x, y et z sont tous impairs ou que deux d'entre eux sont pairs.
==> Je sais pas trop comment justifier mais 2^n -1 pour tout n est impair. Et 2^n est aussi pair.
Donc en faisant la congruence et tout x² + y² + z² doit être impair donc soit deux entiers sont pairs, soit les trois entiers sont impairs

b. On suppose que x et y sont pairs et que z est impair. On pose alors x = 2q, y = 2r et z = 2s +1 où q r et s sont des entiers naturels
Montrer que x² +y² +z² est congru à 1 modulo 4
==> (2q)² + (2r)² + (2s+1)²
= 4q² + 4r² + 4s² + 4s + 1
= 4 (q² + r² + s² + s) + 1

Donc x² + y² + z² = 4 (q² + r² + s² + s) + 1
Donc x² + y² + z² est congru à 1 modulo 4

En déduire une contradiction
==> Là je ne vois pas où est la contradiction...


c. On suppose que x, y et z sont impairs
Prouver que, pour tout entier naturel k non nul, k² + k est divisible par 2
Si k est impair genre k = 2p +1
k² + k = (2p+1)² + 2p +1
= 4p² + 4p + 1 + 2p + 1
= 2 (2p² + 2p + p + 1)

Si k est pair genre k = 2p
k² + k = (2p)² + 2p
= 4p² + 2p
= 2 (p² + p)

Donc dans tous les cas k² + k est pair, donc divisible par 2.


En déduire que x² + y² + z² est congru à 3 modulo 8
==> Je ne sais pas du tout comment faire si vous avez une idée :/

Conclure
==> Pareil.


Merci beaucoup pour votre aide !

Antoine

Bonjour :
Le travail de réflexion me semble tout à fait correct. Pour la question B.b :
Tu as obtenu que si x, y et z sont impairs alors x²+y²+z² est congru à 1 modulo 4.
Maintenant s'ils sont solutions de ton problème \(x^2+y^2+z^2+1=2^n(k+1)\). Quel est alors le reste de la division de \(x^2+y^2+z^2\) par 4 ? N'oublie pas que \(2 <= n\).

Bonne continuation.

Bonjour,
J'ai cherché pendant la matinée mais je me retourne vers vous car je n'ai pas compris ce que vous avez dit...

En effet pour x² + y² + z² c'est congru à 1 modulo 4.
Ainsi le reste dans la division euclidienne de x² + y² + z² par 4 est 1.

Quand on repart de l'énoncé avec x² + y² + z² congru à 2^n -1 modulo 2^n.
Vous avez visiblement ajouter 1 de chaque côté

x² + y² + z² + 1 congru à 2^n modulo 2^n
Personnellement en voyant ça j'ai pensé que x² +y² + z² +1 est congru à 0 modulo 2^n
C'est-à-dire que 2^n divise x² + y² + z² + 1 avec un reste nul.

Je n'ai pas trop compris votre (k+1) :/
Je ne vois vraiment pas où est la contradiction désolé

Bonjour :

Dire que \(x^2+y^2+z^2\) est congru à \(2^n-1\) modulo \(2^n\) signifie que \(x^2+y^2+z^2-(2^n-1)\) est divisible par \(2^n\)
donc \(x^2+y^2+z^2-2^n+1=2^n \times k\) soit \(x^2+y^2+z^2+1=2^n \times k+2^n\) etc .....

Bonne continuation.

Bonjour,
J'ai compris ce que vous avez fait mais une fois qu'on en arrive ici, quelle est la contradiction s'il vous plaît ?

Bonjour :

si tu as compris ce que j'ai fait tu as la réponse à la question : quel est le reste de la division de \(x^2+y^2+z^2\) par 4 et donc la contradiction demandée.

Prends le temps de la réflexion avant de poster un nouveau message.

Bonne continuation.

Bonjour,
Et bien dans un cas le reste de la division euclidienne par 4 c'est 1

Mais dans ce cas-ci le reste c'est quoi ?
Désolé mais je cherche j'ai posé ces deux égalités sur un papier et je n'arrive toujours pas à déduire la contradiction...

Sachant que \(x^2+y^2+z^2+1=2^n\times(k+1)\) je doute que le reste soit 1. N'oublie pas que \(2<=n\).

Bonne continuation.

Bonsoir,
Donc ici le reste de la division euclidienne de x² + y² + z² par 2^n c'est bien -1 ?

J'espère que c'est ça je suis reparti du tout début et j'ai vu que :

x² + y² + z² + 1 = 2^n (k + 1)
Soit x² + y² + z² = 2^n (k + 1) - 1

Ainsi 2^n divise x² + y² + z² mais c'est bizarre d'avoir un reste égal à -1 nan ?

Sachant que r devrait être compris entre 0 et 2^n ? (avec n supérieur ou égal à 2)

Sinon, comment démontrer s'il vous plaît que x² + y² + z² est congru à 3 modulo 8 ?
Dois-je repartir de la définition, c'est-à-dire de x² + y² + z² est congru à 2^n -1 modulo 2^n ?

Bonjour,

Ton reste ne peux être égal à -1, il est compris entre 0 et (2^n)-1

Donc il faut écrire x²+y²+z²=k.2^n+(2^n-1)

et le reste est 2^n-1

pour la suite , utilise ce que tu as trouvé en 2), concernant les reste de m² dans la division par 8.

sosmaths

Bonjour,
Merci pour le coup de main !

Par contre je trouve bien le même reste mais compris entre 0 et 2^n et pas 2^n-1 comme vous avez écrit
(modulo c'est bien 2^n non ?)
Merci pour ceci mais je dois dire quoi dans la contradiction ?
Que le reste est different c'est tout ?

Pour la question d'après merci, en prenant trois fois 1 ça marche (vu qu'on suppose x y et z impairs y a que 1 1 1 qui marche)

Que dois-je conclure après aussi svp ?
Merci bien !

Antoine

quand on divise par 6 , par exemple, le reste est entre 0 et 5.
quand on divise par 2^n, le reste est entre 0 et (2^n)-1.

Pour la suite , quelle question es tu en train de chercher, je suis un peu noyé dans ton énoncé ?

sosmaths

Bonjour,
Oui d'accord je viens de comprendre.

En fait quand on dit 0 < r < b (b étant un diviseur qui ici est 2^n)
On a donc r qui vaut 2^n - 1 (si j'ai bien compris)

En fait à la suite de l'énoncé il y a deux questions :

b. En déduire une contradiction
==> C'est cette question mais je dois dire quelle est la contradiction, c'est ce que je vous demande car je ne vois pas ce que je dois dire mis à part le reste qui n'est pas le même...
Dans un cas on a un reste qui vaut 1 mod 4 et dans un autre cas si n = 2 alors on peut dire que le reste c'est 3 mod 4 ?


Ensuite, une fois que j'ai démontré que x² + y² + z² est congru à 3 modulo 8
Vous avez dit que je dois me servir de m²
J'ai trouvé m² + m² + m² est congru à 3 mod 8
Ceci pour les valeurs de m qui sont {1 ; 1 ; 1} car on considère x y et z impairs.
En plus en vérifiant, 3 est bien congru à 3 modulo 8.

Ensuite, dès que j'ai démontré ceci, je dois "conclure"
J'aimerais bien savoir ce que je dois conclure en fait !

Je vous remets la partie dans l'ordre vous comprendrez mieux ainsi :

a. Démontrer que pour tout entier naturel k non nul, k² + k est divisible par 2
b. En déduire que x² + y² + z² est congru à 3 modulo 8
c. Conclure


En vous remerciant encore de votre aide,
Antoine.

Je voudrais avoir l'énoncé intégral sans commentaire au milieu.

Par conclure , il veulent que tu répondes à la question de départ, en faisant un bilan de ce qui a été établi.

Antoine a écrit : "Etant donné un entier naturel n supérieur ou égal à 2, on se propose d'étudier l'existence de trois entiers naturels x, y et z tels que x² + y² + z² est congru à 2^n -1 modulo 2^n"

sosmaths

Je vous donne l'énoncé de mon exercice
"Etant donné un entier naturel n supérieur ou égal à 2, on se propose d'étudier l'existence de trois entiers naturels x, y et z tels que x² + y² + z² est congru à 2^n -1 modulo 2^n"

Partie A.
1. Dans cette question on pose n = 2. Montrer que 1, 3 et 5 satisfont à la condition précédente.


2. Dans cette question on pose n = 3
a. Soit m un entier naturel. Reproduire le tableau ci-dessous donnant le reste r de la division euclidienne de m par 8 et le reste R de la division euclidienne de m² par 8

b. Peut-on trouver trois entiers naturels x, y et z tels que x² + y² + z² soit congru à 7 mod 8 ?



Partie B.
On suppose qu'il existe trois entiers naturels x, y et z tels que x² + y² + z² soit congru à 2^n - 1 modulo 2^n

1. Justifier le fait que les trois entiers naturels x, y et z sont tous impairs ou que deux d'entre eux sont pairs.


a. On suppose que x et y sont pairs et que z est impair. On pose alors x = 2q, y = 2r et z = 2s +1 où q r et s sont des entiers naturels
Montrer que x² +y² +z² est congru à 1 modulo 4

b. En déduire une contradiction



3. On suppose que x, y et z sont impairs
a. Prouver que, pour tout entier naturel k non nul, k² + k est divisible par 2

b. En déduire que x² + y² + z² est congru à 3 modulo 8

c. Conclure


Voilà l'énoncé tel qu'il est.
Je ne comprends pas le 2b ainsi que le 3c.

J'ai réussi à trouver le corrigé de l'exercice sur internet pour m'aider mais je n'y comprends vraiment rien...