SOS-MATH

Bonsoir !
J'ai un petit problème au niveau d'un exercice de divisibilité...

Je vous donne l'énoncé
"On veut déterminer les couples d'entiers relatifs solutions de l'équation x² + 4y² = 8"

Je ne vois pas trop comment faire...
Je connais la méthode en fait mais je ne vois pas comment factoriser...

La seule chose que j'ai écrite est

x² + 4y² = 8
x² - (-4y²) = 8

Après j'essaye de faire a² - b² mais je n'y arrive pas...
Merci de votre aide :)

John

Bonsoir John,

Essaye de trouver x et y entiers relatifs tels que x² = 4(2-y²), cela devrait te permettre de conclure.

Bonne continuation

Bonsoir,
Désolé mais même avec votre aide je ne sais pas comment faire...

De plus, dans la consigne, il y a d'écrit
"Démontrer que si (x ; y) est un couple d'entiers naturels solution, alors 0 <= x <= 2 et 0 <= y <= 1
Trouver alors les autres couples solutions"

Désolé mais là je vois pas absolument pas du tout :/

Bonsoir,

Utilise a²-b²=..., pour factoriser le second membre, puis utilise le fait que x² est positif, cela te donne la condition sur l'encadrement de y. Ensuite pense que y est un entier cela te donne différentes valeurs, essaye chacune d'elles et conclus.

Bonne fin d'exercice

Bonsoir,
Je suis toujours autant largué car je ne vois pas trop...

En fait on a x² + 4y² = 8
x² = 8 - 4y²
x² = 4 (2 - y²)

Donc jusque là je suis.
Ensuite apparemment il faut faire a² -b² (donc le seul endroit où je vois qu'on peut faire a² -b² c'est le (2 - y²)

Ou alors, je repars de x² = 8 -4y²
Et là je dis x² = ((Racine de 8) -2y) * ((Racine de 8) + 2y)

Ensuite je dois dire que x² > 0 pour tout entier relatif ?
Genre que racine de 8 - 2y > 0 et je fais pareil pour l'autre expression ?

Si tel est le cas je trouve y compris entre -racine de 2 et racine de 2
Or comme c'est des entiers naturels alors y est compris entre 0 et 1 ?

Il faut continuer à partir de 4(2 - y²).
Ce qui va fixer y pour avoir x² positif, y entier et le produit égal au carré d'un entier.

Bonne fin d'exercice

Bonsoir,
Alors si j'ai bien compris on a :

x² = 8 - 4y²
x² = 4 (2 - y²)
x² = 4 ((Racine de 2) - y)((Racine de 2) + y)

x² est supérieur ou égal à 0
4 est supérieur à 0

Donc (Racine de 2) - y >= 0
Racine de 2 >= y

Aussi (Racine de 2) + y >= 0
Racine de 2 >= -y
Racine de 2 <= y

Ainsi on encadre y
-Rac de 2 <= y <= Rac de 2

Comme y est un entier naturel, on ne peut trouver que 1.


Bon par contre je bloque pour x je vous montre ce que j'ai fait...

-Rac de 2 <= y <= Rac de 2
2 <= y² <= 2
-8 >= -4y² >= -8
0 >= 8 -4y² >= 0
0 <= x² <= 0
0 <= x <= 0

Or je ne pense pas que x est égal à 0 mais plutôt 1...
Merci pour votre aide :)

Il y a bien y = 1, mais on est dans les relatifs donc il y a une autre valeur pour y.

Utilise alors x²=8-4y² pour trouver x pour les valeurs de y qui conviennent.

En effet y = 0 donne x² = 8 et dans ce cas x n'est pas entier.

Bonne continuation

Bonsoir,
Merci pour votre aide mais en fait c'est surtout à la question que je souhaite répondre ^^'

C'est-à-dire démontrer ceci
"Démontrer que si (x ; y) est un couple d'entiers naturels solution, alors 0 <= x <= 2 et 0 <= y <= 1
Trouver alors les autres couples solutions"

Car avec votre technique je trouve x = 2 ou x = -2
C'est bien parce qu'on trouve toutes les solutions (2 ; 1) (-2 ; 1) ...


Mais je n'ai pas vraiment démontré que x est entre 0 et 2... pour les entiers naturels

Ou alors je pars de x² + 4y² = 8
x² = 8-4y²

Et je remplace y pas sa valeur qui est 1 ?

x² = 4
x = 2 ou -2 mais on ne cherche qu'un entier naturel soit 2.

Je trouve en fait le 2, mais je n'arrive pas à savoir comment on fait pour avoir 0 <= x <= 2...

Je vous remercie déjà pour votre aide

Bonjour John,

Pense que x²=8-4y², et que si y est compris entre -1 et 1 alors x² est compris entre ......... donc x est compris entre ......
Complète et conclus

Bonne fin d'exercice

Bonjour,
En fait dans mon exercice on considère des couples d'entiers naturels (pour la question que je vous ait soumise)

J'ai fait la chose suivante :
* Une fois que j'avais trouvé y compris entre -Racine de 2 et racine de 2, il y avait deux valeurs possibles pour y

y = 0 ou y = 1
J'ai donc remplacé y par 0 dans l'équation de départ, et on arrive à x = racine de 8...
Ce qui n'est pas possible donc y = 1. Par conséquent 0 < y < 1

En remplaçant y par 1, je trouve x² = 4
Donc x = -2 ou 2, sauf que l'on souhaite des entiers naturels.
Donc x = 2 avec 0 < x < 2.

Ainsi, le couple (x ; y) est solution ; donc le couple (2 ; 1)
Mais les couples (x ; -y) (-x ; y) et (-x ; -y) sont aussi solutions (ici c'est pour les entiers naturels et relatifs)

Donc les couples solutions de cette équation sont :
(2 ; 1) (2 ; -1) (-2 ; -1) et (-2 ; 1).


Par contre j'ai beau essayé avec votre phrase...
Je pars de y compris entre -1 et 1
Après j'avais mis y au carré, j'ai multiplié par -4 et j'ai ajouté 8...
Je trouve toujours x compris entre 0 et 0...

Bonjour,
Désolé pour le deuxième post mais je pense avoir compris.

Si je repars de 0 < y < 1 et non pas de -1 < y < 1 comme vous le suggériez (car on souhaite des naturels)
Alors 0 < y² < 1
Alors 0 > -4y² > -4
Alors 8 > 8 -4y² > 4

Donc 4 < x² < 8
Donc 2 < x < Racine de 8

Je ne prends pas des racines genre -Racine de 8 car je souhaite des naturels
Ainsi ici le seul entier naturel compris entre 2 et Racine de 8 c'est 2.

Je ne sais pas trop si je peux faire comme ça,
Mais en tout cas je partirais en trouvant y compris entre 0 et 1, et ensuite j'en déduirais x et je trouverais les couples solutions.

Ok c'est correct, pour prendre 1 pour y et 2 pour x, il faut écrire \(\leq\) à la place de \(<\) et \(\geq\) à la place de \(>\), je pense que c'est ce que tu as fait mais que tu n'as pas pu le taper (sans utiliser TeX).

A bientôt sur le forum

Bonjour,
Oui désolé je n'ai pas réussi à le taper alors j'y ai mis sous cette forme pour que ce soit plus clair.

Merci beaucoup de votre aide :)
PS: Puis-je recrée un autre topic pour un autre souci ?

oui, bien sur, mais cherche d'abord.

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