SOS-MATH

bonjour je suis en terminale s et il y a quelque chose que je n'ai pas comprit.
pour les limites je ne sais pas calculer un taux de variation ( du type sin).
c'est quand on a une forme indeterminée de cette forme (0/0)
voila je vous remerci d'avance

Bonsoir,

On utilise la définition du nombre dérivée \(f^,(x_0)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\).

Par exemple \(\lim_{x \to 0}\frac{cos(x)-1}{x}=0\), car on a la dérivée de cosinus en \(x_0=0\) avec \(cos(0)=1\). Cette dérivée est \(sin(0)=0\).

J'espère que cela va t'aider, bonne continuation

je vous remerci de votre réponse mais pourriez vous me mettre un exemple plus détaillé afin de mieux comprendre ?
merci

Bonsoir,
je donne un exemple classique avec le sinus : on veut calculer par exemple la limite suivante : \(\lim_{x\to\,0}\frac{\sin(x)}{x}\), on a bien une forme indéterminée du type 0/0.
Il faut ensuite regarder ce quotient différemment : si on considère que sin(0)=0, on peut écrire : \(\frac{\sin(x)}{x}=\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}\) et là on a formé un taux d'accroissement de la fonction sinus au voisinage de 0. La limite de ce taux d'accroissement n'est autre que le nombre dérivé de la fonction sinus en 0.
Or cette fonction est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et elle vaut \((\sin(x))^{\prime}=\cos(x)\) donc \(\lim_{x\to\,0}\frac{\sin(x)}{x}=(\sin(x))^{\prime}(0)=\cos(0)=1\).
Voilà un exemple d'utilisation de la dérivée pour lever une forme indéterminée...

je vous remerci beaucoup j'ai mieux comprit;j'aurais tout de meme une dernière question c'est que si procède toujours de cette manière pour résoudre une limite du meme type que votre exemple ?
Et enfin je voudrais savoir si le taux de variation s'utilise seulement quand il y a 0/0 avec un sinus ou cosinus?
voila merci

Bonjour Sindy,
Effectivement, cette démarche est souvent utilisée pour lever des indéterminations du type O sur O puisqu'on utilise la limite quand x tend vers a du taux de variation \(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) qui est de ce type.

Un autre exemple :limite quand x tend vers 0 de \(\frac{e^x-1}{x}\). il faut remarquer que 1 = \(e^0\) et alors \(\frac{e^x-1}{x}=\frac{e^x-e^0}{x-0}\)
A vous de conclure.