SOS-MATH

Bonjour ,j'aurai besoin d'un peu d'aide pour un des exercices de mon dm.

Voici l'énoncé :
f est une fonction croissante sur [ 0 ;+inf [ et lim f(x) = 2 quand c tend vers + inf.
Démontrer que pour tout x> ou = 0, f(x) < ou = 2.

Mon professeur m'a donné quelques indications : Raisonner par l'absurde de cette façon, supposer qu'il existe un réel a > ou = 0 tel que f(a) > 2.
Utiliser la définition d'une fonction croissante pour en déduire une conséquence.
Justifier qu'il existe un réel Epsilon > 0 tel que f(a) > 2 + Epsilon.
Prouver alors que, pour tout réel x > ou = a, f(x) > 2 + Epsilon.
Etablir une contradiction avec une hypothèse de l'énoncé.

Ce que j'ai fait :

Quelques schéma pour essayer de voir essayer de comprendre cette démarche, malheureusement, je ne vois pas comment je peux supposer qu'il existe un réel a > ou = 0 tel que f(a) = 2 parce que la limite de cette fonction est 2.
Comment justifier qu'il existe un réel Epsilon > 0 tel que f(a) > 2 + Epsilon ? ET comment proucer que pour tout réel x > ou = a , f(x) > 2 + Epsilon ?

Je m'excuse d'en demandé autant de votre part, et je vous remercie de m'aider pour cette exercice.
Robert.

Bonsoir,
Pour raisonner par l'absurde il faut considérer comme vraie le contraire de ce que tu veux montrer et établir une contradiction.
Le contraire de " pour tout réel \(a\geq\,0,\, f(a)\leq2\)" est "il existe un réel \(a\geq\,0,\, f(a)>2\).
Etre strictement supérieur à 2 signifie que l'on est un peu au-dessus de 2, donc au dessus de 2 et quelque chose donc il existe toujours un réel \(\epsilon>0\) tel que l'on ait \(f(a)\geq\,2+\epsilon\) (c'est là que c'est délicat, imagine que l'on ait f(a)=2,05, alors on peut prendre \(\epsilon=0,05\) , si f(a)=2,00001, alors on a \(\epsilon=0,00001\)....)
Ensuite par croissance de f on a pour tout \(x\geq\,a\), \(f(x)\geq\,f(a)\) donc \(f(x)\geq\,2+\epsilon\) soit en passant à la limite, on aura \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\geq\,2+\epsilon\) ce qui contredit l'hypothèse de départ.
Est-ce clair ?