SOS-MATH

J'ai un DM de maths a faire, mais je bloque sur cet exercice :
\(^{x}\) désigne un nombre réel. Simplifier les expressions algébriques suivantes :

1) \(\frac{(e^{x+1})^{-3}*e^{-2x+4}}{e^{-x-2}}\) 2) \(\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)^2-\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right)^2\) 3) \(\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}\)+\(\frac{2}{e^{x}+1}\)

J'ai du mal avec les propriétés algébriques, je ne sais pas laquelle il faut choisir a chaque fois donc mes résultats sont faux. Voici quand même se que j'ai trouvé :

1) \(\frac{(e^{x+1})^{-3}*e^{-2x+4}}{e^{-x-2}}\) = \(\frac{(e^{x} * e^{1})^{-3} * e^{-2x} * e^{4}}{e^{-x-2}}\) = \(\frac{e^{-3x+1+(2x+4)}}{e^{-x-2}}\) = \(\frac{e^{-5x+5}}{{e^{-x-2}}\) = \(\frac{e^{x}}{e^{-x-2}}\) = \(e^{x-(-x-2)}\) = \(e^{x+x+2}\) = \(e^{2x+x}\)

2) \(\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)^2-\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right)^2\) = \(\frac{e^{2x}+e^{-2x}}{2}\)-\(\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{2}\) = \(\frac{e^{2x}+e^{-2x}-e^{2x}-e^{-2x}}{2}\) = 0

3) \(\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}\)+\(\frac{2}{e^{x}+1}\) = \(\frac{1-e^{-x}}{1+\frac{1}{e^{x}}}\)+\(\frac{2}{e^{x}+1}\) = \(\frac{1-e^{-x}}{\frac{1+e^{x}}{e^{x}}}\)+\(\frac{2}{e^{x}+1}\) = \(\frac{(e^{x}-1)e^{x}}{1+e^{x}}\)+\(\frac{2}{e^{x}+1}\) = \(\frac{e^{-x}*e^{x}-e^{x}+2}{e^{x}+1}\) = \(\frac{1-e^{x}+2}{e^{x}+1}\) = 2

Bonjour Camille,

Je te donne des indications pour t'aider à commencer tes calculs. Essaye des les poursuivre en étant très rigoureuse sur l'emploi des règles algébriques.

1) \(\frac{(e^{x+1})^{-3}e^{-2x+4}}{e^{-x-2}}\) = \(\frac{e^{-3x-3}e^{-2x+4}}{e^{-x-2}}\)

2) \((\frac{e^{x}+e^{-x}}{2})^2-(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2})^2\) = \(\frac{e^{2x}+e^{-2x}+2e^{x}e^{-x}}{4}-\frac{e^{2x}+e^{-2x}-2e^{x}e^{-x}}{4}\)

3) \(\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}\)+\(\frac{2}{e^{x}+1}\) = \(\frac{(1-e^{-x})e^x}{(1+e^{-x})e^x}\)+\(\frac{2}{e^{x}+1}\)

Je n'y arrive pas trop voici se que j'ai trouvé :

1) \(\frac{(e^{x+1})^{-3} *e^{-2x+4}}{e^{-x-2}}\) = \(e^{-3x-3}*e^{-2x+4}\) = \(\frac{e^{-3x}}{e^{-3}}\)*\(e^{-2x}*e^{4}\)

2) \(\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)^2-\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right)^2\) = \(\frac{e^{2x}+e^{-2x}+2e^{x}*e^{-x}}{4}\)-\(\frac{e^{2x}+e^{-2x}-2e^{x}*e^{-x}}{4}\)= \(\frac{e^{2x}+e^{-2x}+2e^{x}*e^{-x}-e^{2x}+e^{-2x}-2e^{x}*e^{-x}}{4}\)

3) \(\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}\)+\(\frac{2}{e^{x}+1}\)= \(\frac{(1-e^{-x})e^{x}}{(1+e^{-x})e^{x}}\)+\(\frac{2}{e^{x}+1}\) = \(\frac{e^{x}*e^{-x}-e^{x}}{e^{x}*e^{-x}+e^{x}}\)+\(\frac{2}{e^{x}+1}\)

Je ne sais pas trop comment développer tout sa

Evite de mettre des * mais utilise plutôt \times, c'est plus facile à lire.

J'écris une étape de plus, après c'est à toi à terminer le travail.


1) \(\frac{(e^{x+1})^{-3}e^{-2x+4}}{e^{-x-2}}\) = \(\frac{e^{-3x-3}e^{-2x+4}}{e^{-x-2}}\)=\(e^{-3x-3}e^{-2x+4}{e^{x+2}\)

2) \((\frac{e^{x}+e^{-x}}{2})^2-(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2})^2\) = \(\frac{e^{2x}+e^{-2x}+2e^{x}e^{-x}}{4}-\frac{e^{2x}+e^{-2x}-2e^{x}e^{-x}}{4}\) =\(\frac{e^{2x}+e^{-2x}+2e^{x}e^{-x}-(e^{2x}+e^{-2x}-2e^{x}e^{-x})}{4}\) attention à ne pas oublier la grande parenthèse

3) \(\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}\)+\(\frac{2}{e^{x}+1}\) = \(\frac{(1-e^{-x})e^x}{(1+e^{-x})e^x}\)+\(\frac{2}{e^{x}+1}\)=\(\frac{e^x-1}{e^x+1}\)+\(\frac{2}{e^{x}+1}\)

Bonne continuation.