SOS-MATH

Bonsoir,
Désolé encore de solliciter votre aide à plusieurs reprises mais j'ai un petit souci au niveau de la compréhension d'un exercice portant sur les modulos..

Il m'est demandé "Justifier que pour tout entier n, 5n^3 + n est un multiple de 6"

Et dans la correction on a fait un tableau
Et je n'arrive pas à comprendre ce tableau...

n 0 1 2 3 4 5
n^3 0 1 8 congru 2 (6) 27 congru 3 (6) 64 congru 4 (6) 125 congru 5 (6)
5n^3 0 5 10 congru 4 (6) 15 congru 3 (6) 20 congru 2 (6) 25 congru 1 (6)
5n^3 + n 0 6 congru 0 (6) 6 congru 0 (6) 6 congru 0 (6) 6 congru 0 (6) 6 congru 0 (6)

(Désolé aucune possibilité de joindre un fichier excel ou word...)

Car si je prends l'exemple de n = 2
Alors n est congru à 2 (6)
Et 5n^3 (soit 40) est congru à 4 (6)

Mais en quoi pouvons-nous dire que dans la dernière ligne du tableau... 5n^3 + n... Et bah y a toujours 6 est congru à 0 (6) =='
Je me demandais si on supposait que 5n^3 + n est congru à 0 modulo 6 mais bon...

Merci de bien vouloir m'expliquer
En vous remerciant :)

Antoine

Bonsoir Antoine,

Tu peux démontrer le résultat par récurrence :
la propriété est vraie pour n = 0 : \(5\times0^3+0=0=6\times 0\), c'est donc un multiple de 6.

Tu suppose la propriété vraie au rang n : \(5\times{n^3}+n=6\times{k}\) où \(k\) désigne un entier.

Développe \(5\times{(n+1)^3}+n+1\) ; rappel \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\).
Ensuite regroupe \(5\times{n^3}+n\) avec \(5+1\), pour obtenir un multiple de 6.
Met 15 en facteur dans l'autre partie du développement et factorise \(n^2+n\) puis conclus en pensant que 15 est un multiple de 3, que \(n\) et \(n+1\) se suivent donc il y a un nombre pair et que la somme de deux multiples de 6 est un multiple de 6.

A toi de finir et de mettre en forme