SOS-MATH

Bonsoir,
J'aurai besoin d'aide pour quelques questions sur lesquelles je coince un peu...
On dispose d'une fonction Fn définie sur R+ par Fn(x)= x^(n+1) +x^(n) +x^(2) +x -1 avec n supérieur ou égale à 2.
a) variations et représentations graphiques de f2, f3, f4
=> On dérive, on cherche le signe et on trouve les variations
b) Montrer que les fcts Fn sont strictement croissantes et que les courbes Cn ont exactement deux points communs ?
=> On montre que ce sont des polynômes, donc on cherche la limite du terme de plus haut degré, et comme elle est définie sur R+, elles sont forcéments croissantes ?
=>On montre que lorsqu'on a x=0 on obtient -1 et lorsque on a x=1 obtient 2, d'où les points communs M(0;-1) et N(1;2) ?
c) montrer fn(x) = 0 possède une solution unique, notée Un
=> Je commence à bloquer à partir de là
d) Calculer U2, puis donner une valeur approchée à 10^(-3) près de U3, U4 et U10.
e) Montrer que tous les termes de la suite Un sont dans l'intervalle ]0 ; 2/3[
f) Si l'on compare les fonctions fn et f(n+1) sur [0;1], montrer que Un<U(n+1)
g) En déduire que la suite est croissante, puis convergente
=> On a précédemment montrer que U(n+1)>Un donc c'est la formule même de la stricte croissance donc elle est croissante. Si on démontrer qu'elle ne diverge pas en +/-infini alors il existe forcément un réel M qui sera le majorant de Un et convergera vers l, avec l=< M ??

Merci d'avance à ceux qui se creuseront la tête

Bonjour :

J'ai un peu de mal à comprendre la question b).
Pour n=3 \(\lim_{x\rightarrow -\infty}F_n(x)=+\infty\). La fonction va donc avoir du mal à être strictement croissante. Il doit donc y avoir une erreur d'énoncé.

Bonne continuation.

Pardon : elles sont définies sur \(R^+\).
Pour montrer qu'elles sont strictement croissantes tu dois t'intéresser au signe de la fonction dérivée.

Bonne continuation.

Bonjour,
Donc la dérivé de cette fonction, est f'n(x) = (n+1)x^(n) + nx^(n-1) + 2x -1
Pour le tableau, le premier x, x=0 -> f'n(x)= -1
Mais je ne comprend pas la suite parce qu'il faudrait trouver f'n(x)=0 pour ensuite trouver qu'elle est strictement croissante mais c'est l'énoncé de la question c)

Bonsoir,

je prend la suite des messages si \(f_n(x)= x^{n+1} +x^n +x^2 +x -1\) la dérivée ne peut être \(f^,_n(x) = (n+1)x^n + nx^{n-1} + 2x -1\) , elle doit être\(f^,_n(x) = (n+1)x^n + nx^{n-1} + 2x +1\).
Dans ce cas on a bien une somme de positif et \(f^,\) est positive.

Bonne continuation

Bonsoir,
Donc maintenant que j'ai prouvé qu'elle est croissante, pour les points communs, j'ai résolu f(n+1)(x) = fn(x) et j'obtiens x^(n+2)-x^n, on factorise et on obtient x^n(x²-1) donc on a deux points Z(1;3) et W(0;-1).
Ensuite pour la c), j'ai dit que la fonction était strictement croissante et qu'on vient de montrer que lorsque x E [0;1] on passait une seule fois par 0 (puisque croissante).
Et à partir de ce moment là, blocage complet ...
Merci

Vérifie que \(f_{n+1}(x)<f_n(x)\) pour \(x\) entre 0 et 1 cela permet d'en déduire que \(u_n<{u_{n+1}}\).
Ensuite tu as une suite croissante et majorée, tu peux en déduire la convergence.
Utilise la calculatrice pour les valeurs approchées.

Bon courage

Je n'arrive pas à prouver que tous les termes de la suite Un sont dans l'intervalle ]0;2/3[ car je ne connais pas la suite Un, je n'arrive pas à la trouver
Merci d'avance

Calcule \(f_n(0}\) et détermine le signe de \(f_n(\frac{2}{3})\) et déduis-en la réponse, sachant que \(f_n\) est continue et strictement croissante.

Pour visualiser la situation utilise un traceur de courbes (geogebra, geoplan, graphe-easy, sinequanon ... sont des grapheurs gratuits à télécharger sur internet).

Bon courage

J'ai trouvé fn(2/3)>0 car c'est une somme de termes positifs et fn(0)<0 -> donc les termes de la suite Un E ]0;2/3[
c) en comparant les fonctions fn et f(n+1) sur [0;1], montrer que l'on a Un<U(n+1) -> Faut-il que je les dérive et trouver l'une supérieure à l'autre ou simplement faire la différence entre les deux ?

Merci beaucoup

Bonsoir ,

fais la différence des deux, ça suffira, car beaucoup de termes s'éliminent.

sosmath

Bonsoir,
En faisant la différence, j'obtiens donc x^n ( x²-1) mais je n'arrive pas en conclure que fn croit plus vite que f(n+1) [si c'est la conclusion qu'il faut tirer..] et donc que Un<U(n+1)
Merci

Donc dans l'intervalle [0;2/3] \(f_{n+1}(x)-f_n(x)<0\) donc \(f_{n+1}(x)<f_n(x)\)
Mais alors \(f_n(u_n)=0\) donc \(f_{n+1}(u_n)<0\) donc \(f_{n+1}\) s'annule pour une valeur supérieur à Un, donc \(U_{n+1} >U_n\)

sosmaths

Ah oui d'accord, c'était tout bête ! Merci beaucoup !

J'ai démontré qu'en utilisant 0 < Un < 2/3 , lim (Un)^n = lim (Un)^n+1 = 0 [ quand n tend vers +infini ]
J'ai aussi démontré que la limite Lambda de la suite (Un) est solution de l'équation x²+x²-1=0 mais en revanche je n'arrive pas à calculer Lambda :
Faut-il résoudre x²+x-1= lambda ? Si oui, je ne vois pas comment ...

Merci beaucoup de votre aide

Bonjour,

TH :Toute suite croissante et majorée est convergente.

C'est le cas de Un.
La limite n'est pas demandée.

sosmaths