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Bonjour à vous !

Je suis en train de faire en ce moment les dérivées et j'ai un peu de souci au niveau d'un exercice...

"Soit f la fonction définie sur [1 ; +inf[ par f(x)= x * Racine de (x-1)"


1. a. Justifier le fait que f est dérivable sur l'intervalle ]1 ; +inf[
==> Et bien dans f(x) on a une expression de la forme Racine de u, sa dérivée vaut u' / 2racine de u
Donc si on prend x ou u = 1 alors le dénominateur vaudra 0, or on ne peut pas diviser par 0

b. Calculer f'(x) pour x appartenant à ]1 ; +inf[. Donner le résultat sous la forme d'un unique quotient.
==> Je vous enlève les calculs mais si je ne me trompe pas je trouve f'(x) = (3x -2) / (2 racine de (x-1) )

c. En déduire le sens de variation de f sur l'intervalle ]1 ; +inf[
==> Le signe du dénominateur est forcément positif vu que l'on exclut 1 (si x était égal à 1 on devrait diviser par 0)
On étudie donc le signe de 3x - 2. Or dès que x vaut 2/3, 3x - 2 = 0 donc sur l'intervalle [2/3 ; +inf[, f'(x) est positive
Donc f est croissante sur l'intervalle ]1 ; +inf[


2. Déterminer la limite à droite lorsque x tend vers 1 de la fonction : x [(f(x) - f(1)) / (x-1)]. Que peut-on en déduire ?
==> Là je ne vois pas trop comment faire, si vous pouviez m'aider je comprends pas le sens de la question...


3. a. Déterminer la limite de f en +inf

==> Sans la question d'avant on peut le faire car lim x = +inf lorsque x tend vers +inf
limite racine de (x-1) = +inf lorsque x tend vers +inf
Le produit des deux donne la limite de f(x) qui est +inf lorsque x tend vers +inf

b. Dresser le tableau de variation de f
==> Je ne suis pas sûr mais pour moi, elle est croissante (en partant de pour x = 1, alors f(x) = 0) et croît jusqu'en +inf pour x = +inf


Merci de votre aide si jamais il y a des erreurs ^^

Bonjour,
Par commodité, j'ai recopié ton message et écris mes remarques en vert.
Bonne continuation.

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Dérivées

Message non lude Antoine le Ven 7 Oct 2011 09:33
Bonjour à vous !

Je suis en train de faire en ce moment les dérivées et j'ai un peu de souci au niveau d'un exercice...

"Soit f la fonction définie sur [1 ; +inf[ par f(x)= x * Racine de (x-1)"


1. a. Justifier le fait que f est dérivable sur l'intervalle ]1 ; +inf[
==> Et bien dans f(x) on a une expression de la forme Racine de u, sa dérivée vaut u' / 2racine de u
Donc si on prend x ou u = 1 alors le dénominateur vaudra 0, or on ne peut pas diviser par 0

C'est bien d'avoir pensé à la composée. Il te suffit de dire que \(\sqrt(u)\) est dérivable sur l'intervalle ]1;+inf[ car u l'est et est strictement positive sur cet intervalle. ne t'occupe pas de x=1, qui annule x-1, ce n'est pas demandé.

b. Calculer f'(x) pour x appartenant à ]1 ; +inf[. Donner le résultat sous la forme d'un unique quotient.
==> Je vous enlève les calculs mais si je ne me trompe pas je trouve f'(x) = (3x -2) / (2 racine de (x-1) )
résultat exact

c. En déduire le sens de variation de f sur l'intervalle ]1 ; +inf[
==> Le signe du dénominateur est forcément positif vu que l'on exclut 1 (si x était égal à 1 on devrait diviser par 0)
mauvaise argumentation : écrire qu'une racine carrée est toujours positive

On étudie donc le signe de 3x - 2. Or dès que x vaut 2/3, 3x - 2 = 0 donc sur l'intervalle [2/3 ; +inf[, f'(x) est positive
Donc f est croissante sur l'intervalle ]1 ; +inf[



2. Déterminer la limite à droite lorsque x tend vers 1 de la fonction : x [(f(x) - f(1)) / (x-1)]. Que peut-on en déduire ?
==> Là je ne vois pas trop comment faire, si vous pouviez m'aider je comprends pas le sens de la question...

il s'agit d'étudier la dérivabilité de f en 1 (à partir de la définition).


3. a. Déterminer la limite de f en +inf

==> Sans la question d'avant on peut le faire car lim x = +inf lorsque x tend vers +inf
limite racine de (x-1) = +inf lorsque x tend vers +inf
Le produit des deux donne la limite de f(x) qui est +inf lorsque x tend vers +inf
cela semble correct


b. Dresser le tableau de variation de f
==> Je ne suis pas sûr mais pour moi, elle est croissante (en partant de pour x = 1, alors f(x) = 0) et croît jusqu'en +inf pour x = +inf
c'est bon

Bonsoir et merci d'avoir pris le temps de répondre à mon message.

"2. Déterminer la limite à droite lorsque x tend vers 1 de la fonction : x [(f(x) - f(1)) / (x-1)]. Que peut-on en déduire ?
==> Là je ne vois pas trop comment faire, si vous pouviez m'aider je comprends pas le sens de la question...

il s'agit d'étudier la dérivabilité de f en 1 (à partir de la définition)."


Je connais la définition qui dit que ''f est dérivable en a signifie que la fonction f : x [(f(x) - f(a) / (x-a)] admet une limite finie lorsque x tend vers a''
''On a f'(a) = lim x --> a [(f(x) - f(a) / (x-a)]"

En fait je ne comprends pas si je dois me servir de la fonction f : x [(f(x) - f(a) / (x-a)] ou bien de l'énoncé...
Car si j'ai bien compris, la limite à droite de f(x) pour x = 1 c'est environ 0 non ?

Bonsoir,

En fait, il faut vous servir des deux : de la définition du nombre dérivé et de la définition de f (de l'énoncé).

Ainsi, vous calculez la limite de \(\frac{x\times\sqrt{x-1}}{x-1}\) lorsque \(x\) tend vers 1.

Bonne continuation.

Rq. Vous ne trouverez pas comme résultat 0.

Bonsoir,

Ah merci (j'avoue que je ne comprends pas trop votre calcul...)
J'aurais mis [(x * racine de (x-1) - (1 * racine de (1-1))] / (x-1)

Ce qui revient à ce que vous mettez en fait...

Euh par contre si on cherche la limite à droite pour x = 1
On obtient du +inf si je me trompe pas ce coup-ci ?

Par contre pour le démontrer...
lim x-1 pour x --> 1 pour x > 1 c'est du 0+
Le numérateur c'est du +inf donc +inf sur 0+ c'est du +inf ?

Pourtant ça ne ressemble pas à une limite finie..

Bonsoir,

Je reprends une partie de ton dernier message :

<<Par contre pour le démontrer...
lim x-1 pour x --> 1 pour x > 1 c'est du 0+>>

--->oui, c'est exact.

<<Le numérateur c'est du +inf donc +inf sur 0+ c'est du +inf ?>>

---> non, c'est du 0+ sur 0+, donc une forme indéterminée.

Pour lever l'indétermination, essaye de multiplier numérateur et dénominateur par \(\sqrt{x-1}\).

Bonne continuation.

Bonsoir,
Ah oui pourtant j'avais pris un exemple et je trouvais 32 et quelques donc bon...

Je vais essayer je vous dirai ce que ça me donne, merci bien :)

Bonsoir,

En faisant ce que vous dîtes je trouve (x) / (Racine (x-1))

Par contre pour la limite ça fait du 1+ sur du 0
Donc je trouve toujours +inf, où est-ce que je me suis trompé ?

1 sur 0+ (ne pas oublier le +)

puis, on obtient effectivement +oo, c'est bien.

Bonne continuation.

Bonsoir,
Merci beaucoup !

Qu'est-ce que je peux en déduire en fait ?
Je pensais à une asymptote verticale mais est-ce que c'est vraiment ça ?

oui, la fonction n'est pas dérivable en x=1, et sa courbe admet une asymptote verticale.
bonne continuation.

Bonsoir,
Okay mais il s'agit bien de la dérivée qui a une asymptote horizontale pour x = 1 pas la fonction n'est-ce pas ?

Merci pour toute votre aide et votre patience !

non, la courbe de f (la fonction, pas sa dérivée) admet en x=1 une asymptote VERTICALE (pas horizontale).
bonne continuation.

Bonjour,
Merci mais je ne comprends pas pourquoi il y aurait une asymptote verticale à Cf en 1 alors que f(1) = 0....

Bonjour,
Regardez dans votre cours ou dans votre livre et cherchez l'exemple de la fonction racine carrée en 0+. C'est très classique. Si f désigne la fonction racine carrée. On a f(0)=0 et la courbe de f admet en 0 une tangente verticale pour des raisons analogues à ce qui se passe dans votre exercice.
Bonne continuation.