SOS-MATH

Bonjour, je suis élève en TS et j'ai des difficultés à résoudre cette exercice "typique" alors que la date du contrôle approche, pouvez m'aider à éclaircir la situation ?

J'ai l"énoncé suivant :
Soit f la fonction définie sur [0;2] par
f(x) = (2x+1)/(x+1)
1. Etudier les variationsde f sur l'intervalle [0;2].

2. (un) et (vn) sont deux suites définies sur N par:
. uo=1 et pour tout n E N, un+1 = f(un)
. vo=2 et pour tout n E N, vn+1 = f(vn)
Construire le graphe de la fonction f sur [0;2] et placer sur l'axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des suites (un) et (vn). Que peut-on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des suites (un) et (vn) ?

b. Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurence que :
.pour tout n E N, 1<vn<2 et vn+1<vn
.pour tout n E N, 1<un<2 et un<un+1

C. Montrer que, pour tout entier naturel n :
vn+1 - un+1 = (vn-un)/(vn+1)(un+1)
En déduire que, pour tout entier naturel n :
vn-un>0 et vn+1-un+1< 1/4(vn-un)

d. Montrer que pour tout n E N :
vn-un < (1/4)^n
e. Montrer que les suites (un) et (vn) convergent vers un réel a. Déterminer la valeur exacte de a.


1. en dérivant la focntion je trouve qu'elle est strictement croissante sur l'intervalle [0;2}
2.a) Avec l'aide de la droite y=x j'ai construit les trois premiers termes de chaque suite.
La suite (un) semble être croissante et converger vers 5/3 et la suite (vn) semble être décroissante mais converger également vers 5/3.

b) Soit Pn la propriété "1<vn<2"
init. vo=2 donc Po est vraie
héré. par hypothèse de récurence on a 1<vn<2 donc 2 < 2vn < 4
2<vn + 1< 3 3 < 2vn +1 < 5
1/3 < 1/vn + 1 < 1/2
(1/3)*3 < (2vn + 1)/ (vn + 1)< (1/2)*5
1< vn < 5/2

Il y a donc un problème ! car vn doit être inférieur à 2. J'ai essayé en divisant deux inégalités mais je ne pense pas que ce soit mathématiquement correct :
2 < vn + 1 < 3 et 3 < 2 vn +1 < 5
donc 3/2 < (2vn + 1 )/ (vn + 1) < 5/3
1< 3/2 < vn + 1 < 5/3 < 2

Bonjour frédérique,

Effectivement , ton raisonnement par récurrence est très bien fait , mais il n'aboutit pas. Il vaut mieux utiliser la fonction f que tu sais croissante .

initialisation : v0=2 donc ça marche

hérédité : 1<vn<2 donc puisque f est croissante sur [0; 2] donc sur [1;2] on peut donc écrire f(1)<f(vn)<f(2) soit 3/2<v(n+1)<5/3 donc 1<v(n+1)<2


bon courage

sosmaths

Merci pour cette astuce !
Malheureusement je coince également pour la question suivante...
Comment démontrer par récurence que v(n+1)<vn ?
Si j'applique un raisonnement comme : v(n+1) < v(n) et v(n+1) < v(n)
v(n+1)+1 < v(n) +1 2v(n+1) < 2v(n)
1/v(n+1)+1 > 1/v(n)+1 2v(n+1) +1 < 2v(n) +1

Peut-on multiplier deux inégalités de sens opposées ? Au quel cas, quel est le signe qui l'emporte ? Sinon je ne vois pas comment faire car utiliser la focntion f me paraît ici impossible car f et (vn) ont des sens de variations opposés.

même méthode que précédemment.
tu veux montrer en fait que : pour tout entier n, v(n+1)<v(n)

initialisation : v0=2 et v1=5/3 donc v1<v0

hérédité: On suppose v(n+1)<v(n) et maintenant tu fais agir la fonction f.


sosmaths