SOS-MATH

Bonjour j'ai besoin d'aide pour cet exercice:

Soit une trajectoire hyperbolique d'équation y= 1/x d'un objet céleste M, avec x>0. Le point A(1;-1) représente la terre. Le but du problème est déterminer la valeur de x pour que la distance AM soit minimale, et calculer cette distance AM minimale en km.

1) Déterminer en fonction de l'abscisse x de M l'expression f(x)= AM².

Je ne mettrai pas la suite de l'exercice sauf au cas ou je bloquerai de nouveau par la suite car je suis déjà bloqué par cet question.
Il faut donc utilisé la formule de calcul d'une distance qui est AM= \(\sqrt{(Xm-Xa)^2-(Ym-Ya)^2}\)
Donc ce la donne AM= \(\sqrt{(x-1)^2-((1/x)+1)^2}\)
Après on enlève les carrés et la racine cela donne
AM= x-1+(1/x)+1
x+(1/x)
Et pour avoir AM², on élève le tout au carré AM²= (x+(1/x))²
Identité remarquable x²+2+(1/x²)
Mais mon problème, c'est que la question 2 est Montrer que f'(x)= \(\frac{2u(x)}{x^3}\) où u(x)= x^4-x^3-x-1. Or on voit que au dénominateur c'est x^3 et non x² si je met mon résultat 1) sous le même dénominateur donc j'ai du faire logiquement une erreur mais je ne vois pas ou. Pouvez m'aider le plus rapidement possible. Je vous remercie beaucoup d'avance.

Bonjour Paul,

Tu as bien commencé mais tu as inventé une formule \(\sqrt{a^2+b^2}=a+b\) formule que tu utilise en enlevant le carré.

Tu dois commencer par tout développer sous la racine, puis réduire au même dénominateur.

Situ veux tout de suite \(AM^2\) écris \(AM^2={(Xm-Xa)^2-(Ym-Ya)^2}=(x-1)^2-((1/x)+1)^2\) développe et réduis au même dénominateur.

Bonne continuation

D'accord je croyais que l'on pouvais enlevé directement le carré et la racine en même temps. Autant pour moi.
Donc du coup, comme vous me l'avez dit, j'ai fait directement AM² = (x-1)²-((1/x)+1)² et j'ai trouvé comme résultat AM²=(x^5-2x^4-2x²-x)/x^3. Est-ce la bonne réponse ? Je pense que oui vu que l'on retrouve le x^3 au dénominateur comme la question 2).

Il y avait une autre erreur que je n'avais pas vu, j'ai recopié ta formule pour aller plus vite sans la vérifier, mais elle est fausse.
La bonne formule est : \(AM^2={(Xm-Xa)^2+(Ym-Ya)^2}=(x-1)^2+((1/x)+1)^2\) il faut remplacer le signe moins par un plus !
Il s'avère donc que ton résultat n'est pas le bon, mille excuses.
Néanmoins pense à simplifier la fraction par \(x\).

Bonne continuation

Non c'est ma faute je n'avais pas du tout fait attention mais le résultat ne change pas beaucoup ça ma donne (x^5-2x^4+2x^3+2x²+x)/x^3 mais je ne comprend pourquoi je devrais simplifier ma fraction par x car ça m'enlèverai le x^3 du dénominateur et donc ce ne serait pas cohérent avec la question 2) où il faut que je retrouve x^3 au dénominateur ?

OK avec ton résultat.
Tu peux simplifier car c'est dans la dérivée qu'il y a \(x^3\) pas dans la fonction.

Bon courage pour la suite

D'accord je simplifie juste par x alors. Et pour la dérivée, c'est la formule u'/v' qu'il faut ?

Bonjour,

Voilà j'ai un gros problème et c'est très très urgent. J'en suis à la dernière question de mon dm ou il faut montrer que si M au plus proche, la droite (AM) perpendiculaire la tangente en M à l'hyperbole.

J'ai démontrer par théorème de bijection que u(x)=0 a solution unique alpha donc u(alpha)=0.
alpha encadré entre 1.618 et 1.619. u décroissante de ]0;1[ et croissante sur ]1;+infini[.
f(x) est aussi décroissante sur ]0;alpha[ et croissante sur ]alpha;+infini[ et enfin que AM est minimal pour x=alpha.

Alors je sais que coef tangente * coef (AM) = -1 montre donc que (AM) est perpendiculaire à la tangente.
coef tangente = f'(1/alpha) donc -1/(alpha)²
coef (AM) = (Ym-Ya)/(Xm-Xa)
= ((1/alpha)+1)/(alpha-1)
donc on fait ((1/alpha)+1)/(alpha-1)*-1/(alpha)²
(-(1/alpha)-1)/(alpha^3-alpha²)
Mais après je ne sais plus quoi faire pour monter que tout ça est égal à - 1. S'il vous plait répondez moi très vite.
Je vous remercie d'avance. Si vous avez besoin de plus d'info, n'hésitez pas.