Limites fonction rationnelle
Posté : jeu. 29 sept. 2011 17:58
Bonsoir,
Je souhaiterais avoir quelques avis sur un dm que j'ai à faire:
f(x)= (x^3 - 4)/(x² + 1) ; Df= R tout entier ; on note C sa courbe dans un repère orthogonal.
1. a) On pose g(x)=x^3 +3x +8. Étudier le sens de variations de g et montrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution alpha dont on donnera un encadrement d'amplitude 0,1.
Réponse (simplifiée): g'(x)= 3x²+3 3x²+3>0 Dg= R tout entier
x -infini +infini
g'(x) +
g(x) strictement croissant
g est continue sur R comme polynôme
g est dérivable sur R
g'(x)= 3x²+3 pour tout x E R
g'(x)>0 donc g est strictement positif sur Df
On observe que g(-2)<0<g(-1)
D'après de corollaire du TVI, l'équation g(x)=0 admet une solution alpha appartenant à [-2;-1]
Par balayage:
on tabule depuis -2 avec un pas de 0,1
-1,6<alpha<-1,5
1. b) Préciser le signe de g(x) selon les valeurs de x
Réponse:
Sur ]-infini;-2] g est strictement croissante et g(-2)<0 donc g(x)<0 sur cet intervalle .
Sur [-1;+infini[ g est strictement croissante et g(-1)>0 donc g(x)>0 sur cet intervalle .
2. a) Calculer f'(x) et étudier le sens de variations de f.
Réponse :
f est de la forme u/v avec u(x)= x^3 - 4 et v(x)= x² + 1
u'(x)= 3x² v'(x)= 2x
f'(x)= (3x^4 + 3x² -2x^4 + 8x)/(x² + 1)²
f'(x)= (x(x^3 +3x + 8))/(x²+1)²
Est-ce bon jusque là ? Je n'arrive cependant à déterminer le signe arithmétiquement... montrer que f(x)= ax + b + (cx + d)/(x²+1) ce qui me pose probleme (après avoir trouvé les limites)
Je souhaiterais avoir quelques avis sur un dm que j'ai à faire:
f(x)= (x^3 - 4)/(x² + 1) ; Df= R tout entier ; on note C sa courbe dans un repère orthogonal.
1. a) On pose g(x)=x^3 +3x +8. Étudier le sens de variations de g et montrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution alpha dont on donnera un encadrement d'amplitude 0,1.
Réponse (simplifiée): g'(x)= 3x²+3 3x²+3>0 Dg= R tout entier
x -infini +infini
g'(x) +
g(x) strictement croissant
g est continue sur R comme polynôme
g est dérivable sur R
g'(x)= 3x²+3 pour tout x E R
g'(x)>0 donc g est strictement positif sur Df
On observe que g(-2)<0<g(-1)
D'après de corollaire du TVI, l'équation g(x)=0 admet une solution alpha appartenant à [-2;-1]
Par balayage:
on tabule depuis -2 avec un pas de 0,1
-1,6<alpha<-1,5
1. b) Préciser le signe de g(x) selon les valeurs de x
Réponse:
Sur ]-infini;-2] g est strictement croissante et g(-2)<0 donc g(x)<0 sur cet intervalle .
Sur [-1;+infini[ g est strictement croissante et g(-1)>0 donc g(x)>0 sur cet intervalle .
2. a) Calculer f'(x) et étudier le sens de variations de f.
Réponse :
f est de la forme u/v avec u(x)= x^3 - 4 et v(x)= x² + 1
u'(x)= 3x² v'(x)= 2x
f'(x)= (3x^4 + 3x² -2x^4 + 8x)/(x² + 1)²
f'(x)= (x(x^3 +3x + 8))/(x²+1)²
Est-ce bon jusque là ? Je n'arrive cependant à déterminer le signe arithmétiquement... montrer que f(x)= ax + b + (cx + d)/(x²+1) ce qui me pose probleme (après avoir trouvé les limites)