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solutions complexes d'une equation
Posté : dim. 25 sept. 2011 13:54
par lori
Bonjour
On me demande de déterminer les nombres z appartenant à C tels que z^6 + 64(Z+1)^3 =0
J'ai commencé par dire que z^6= -64 (z+1) puis j'appel Z= z^2/(z+1) , et j'ai résolu l'equation Z^3= -64 d'ou Z=-4 puis je remplace , et j'ai l'équation : z^2+ 4z + 4 = 0, d'ou delta = 0 et donc je n'ai qu'une solution dans R : -2 . Donc je ne trouve aucune solution complexe. Est ce que mon raisonement est juste ? car il me semble que je devrais trouver des solutions complexes ..
Merci d'avance
Re: solutions complexes d'une equation
Posté : dim. 25 sept. 2011 14:40
par SoS-Math(4)
Bonjour Lori,
D'abord un réel est un nombre complexe.
ta méthode semble juste, mais l'équation Z^3=-64 a 3 solutions dans C et non pas une seule.
pour t'aider je suis un peu embété car je ne sais pas si vous avez déjà fait la forme trigonométrique d'un nombre complexe en classe.
Sinon tu résous Z^3+64=0 et puisque tu connais la solution -4, tu mets (Z+4) en facteurs.
Z^3+64=(Z+4)(aZ²+bZ+c)
Tu développes pour chercher a, b, c par identification . Ensuite tu cherches les racines de ce polynôme.
sosmaths
Re: solutions complexes d'une equation
Posté : dim. 25 sept. 2011 15:04
par lori
merci beaucoup , j'ai bien trouvé 3 solutions dans C :)
Re: solutions complexes d'une equation
Posté : dim. 25 sept. 2011 17:03
par Lori
Bonsoir ,
Une fois que j'ai les 3 solutions , je les ai mi en équation comme ceci : z^2/(z+1) = 2-2i racine de 3 , et de meme avec les 3 solutions . pour Z=-4 je trouve z= -2, mais pour les autres , je n'y arrive pas . par exemple pour la 1 ere equation que j'ai décrite , je trouve delta = -16racine de 3 , et apres quand je cherche les solutions , je trouve des solutions " bizarre " : 2-2iracine de 3 -4i racine 4 de 3 ... est ce juste ou ai-je fais une erreure ?
Re: solutions complexes d'une equation
Posté : dim. 25 sept. 2011 17:23
par SoS-Math(4)
je trouve delta =-16= 16i²=(4i)²
Alors tu dois trouver les solutions.
sosmaths
Re: solutions complexes d'une equation
Posté : dim. 25 sept. 2011 17:47
par Lori
Avec votre résultat du delta , je trouve donc 2 solutions : -1-i(2+racine de 3) et -1+i(2+racine de 3) estce les bonnes solutions cette fois ?
Merci d'avance
Re: solutions complexes d'une equation
Posté : dim. 25 sept. 2011 20:04
par SoS-Math(4)
il faut résoudre z^2/(z+1)= 2-2irac(3) soit z^2 =(z+1)(2-2irac(3)) soit z^2-(2-2irac(3))z-(2-2irac(3)=0
delta =-16 =(4i)²
on trouve : z= (2-2irac(3) -4i)/2=1-i(rac(3) +2) ou z=1-i(rac(3)-2)
Après il faut recommencer avec la 2ème solution de Z^3=-64, on trouvera encore 2 solutions. Puis ensuite avec la 3ème solution de Z^3=-64, et on trouvera encore 2 solutions.
En tout 6 solutions. VERIFIE TOUS LES CALCULS
sosmaths