SOS-MATH

Bonsoir,
Je bloque sur un exercice de récurrence avec des racines...

On me dit que (Un) est une suite définie par U0 = 1 et Un+1 = Un / (Racine de Un²+1)
(Un+1 est un indice, et la racine est sur tout le dénominateur


1. Démontrer que pour tout entier naturel n, Un > 0
==> Récurrence je suppose donc j'ai fait l'initialisation mais j'ai un doute pour l'hérédité...
Pour prouver que Un+1 > 0, je pars de Un > 0 mais est-ce que j'ai le droit de dire : ''je divise Un par (Racine de Un² +1) ?''
Après on aurait donc Un+1 > 0 et la conclusion... Mais je n'en suis pas si sûr


2. Prouver que la suite (Un) est décroissante
==> Un > 0
Un² +1 > 1
1 / (Un² +1) < 1
Un+1 < Un
Soit Un+1 -Un < 0
La suite (Un) est bien décroissante.


3. Calculer les 5 premiers termes. Conjecturer l'expression de Un en fonction de n, démontrer ce résultat.
==> U0 = 1 | U1 = Racine de 2 / 2 | U2 = Racine de 3 / 3 | U3 = Racine de 4 / 4 | U4 = Racine de 5 / 5
On peut conjecturer que Un = (Racine de n +1) / (n+1)

Pour le démontrer je pensais à une récurrence... Ca marche pour l'initialisation et je veux trouver que Un+1 = (Racine de n+2) / (n+2)
Sauf qu'en faisant l'hérédité, à savoir en partant de Un = (Racine de n+1) / (n+1) et en remplaçant ça dans Un+1 = Un / (Racine de Un²+1), je ne trouve pas ce que je recherche :/


4. Déterminer la limite de la suite (Un)
==> Je ne vois pas comment le démontrer, mais pour moi cette suite tend vers 0.


Merci de votre aide précieuse ^^
Bonne soirée

Bonjour,
la question 1) est bien résolue
Dans la question 2) vous avez oublié la racine dans votre raisonnement dont le début est correct
dans la question 3) L'expression que vous avez trouvée pour Un est juste.
L'idée d'utiliser la récurrence est judicieuse
Dans cette question et la suivante il faut se rappeler que
\(\frac{sqrt(2)}{2}=\frac{sqrt(2)}{(sqrt(2)^2}=\frac{1}{sqrt(2)}\)
donc
\(\frac{sqrt(n+1)}{n+1}= ....\)
Bon courage, vous êtes près du but

Bonsoir,
Désolé du retard je vous remercie j'ai pu trouver ce que je cherchais.

Merci encore !