SOS-MATH

Bonsoir !
Je suis un peu embêté...

"a et b sont 2 entiers naturels tels que a² -2b² = 1"

1. Démontrer les propriétés qui suivent :

a/ Le seul diviseur entier naturel commun à a et à b est 1
b/ a est impair
c/ b est pair ?


Comment puis-je faire pour démontrer tout ça ?

Bonsoir,
"Pour la première question, considérez un entier naturel d diviseur à la fois de a et de b; alors d est un diviseur de l'expression a²-2b²; du coup d est un diviseur de .... Je vous laisse terminer le raisonnement."

==> Je ne comprends pas bien.
Dois-je prendre un diviseur d ou bien le remplacer par un nombre ?

Car si d divise a, et s'il divise b, alors il peut diviser a+b ou a-b ou même une combinaison linéaire de a et de b nan ?
Donc cela veut dire que d peut diviser a² -2b²... Mais ensuite ?

Désolé je ne vois pas du tout :S

Bonsoir,

Ce que l'on a essayé de faire c'est de vous aider à démontrer que le seul diviseur entier naturel commun à a et à b est 1. Pour cela on part de d un diviseur commun à a et b donc comme vous l'avez dit, d est alors un diviseur d'une combinaison linéaire de a et de b. Donc d divise a² -2b². Mais l'énoncé dit que a² -2b²=1 donc d est un diviseur de 1. Je pense que vous allez pouvoir finir...

Bonne continuation.

Bonsoir,
Je pense avoir compris le grand 1.

Pour le a, je pars donc du fait qu'il existe un diviseur d qui divise à la fois a, mais aussi b.
Donc ce diviseur divise une combinaison linéaire de a et de b, soit a² - 2b².
Or, a² - 2ab = 1 donc d divise 1, mais d peut être égal à -1 ou 1 du coup non ?

Pour le b, je suppose que a est pair.
Si on élève a au carré il sera toujours pair, et le nombre b ne peut que être pair car il est multiplié par 2 donc il est forcément pair.
Or le résultat est 1 soit un nombre impair, donc a ne peut que être pair.

Pour le c, et bien un nombre b pair élevé au carré donnera un nombre pair, et toujours pair s'il est multiplié par 2.
Enfin ce que je veux dire c'est que vu que a est impair, b sera forcément pair...

Désolé mais j'ai du mal à justifier, est-ce que vous pourriez m'aider à justifier le b et un peu la fin du a ?
Le c par contre je ne vois pas trop comment démontrer que b est pair (de toute façon quel que ce soit l'entier qu'on prend le nombre -2b² sera pair donc...)


Petite question aussi, je peux faire un raisonnement par l'absurde pour démontrer le b) ?
Merci bien !

Bonjour,

J'ai compris pour le 1a et le 1b mais je n'arrive pas à faire le 1c...
J'essaye de suivre votre méthode en remplaçant a par 2p +1 avec p un entier naturel mais...

J'arrive à (2p +1)² -2b²
= 4p² + 4p +1 -2b²
= 4p² + 4p + 1 -2b²

Ensuite je comprends pas comment simplifier par 2 vu qu'il me reste 1 en plus...
Si vous pouvez m'aiguiller par la suite merci d'avance x)

(Par contre on démontre aussi dans le b/ que b est pair non.. ?)


Et aussi j'aimerais savoir comment je peux déterminer avec une calculatrice 4 couples d'entiers inférieurs à 100 vérifiant a² 2b² = 1 ?
J'ai trouvé (3 ; 2) mais après j'ai du mal à trouver...

Par ailleurs, comment je peux démontrer que si (a ; b) est solution, alors le couple (A ; B) avec A = 3a +4b et B = 2a +3b est encore solution ?

Bonsoir,

J'arrive à (2p +1)² -2b² = 1
4p² + 4p +1 -2b² = 1
4p² + 4p + 1 -2b² = 1

4p² +4p -2b² = 0
2 (2p² + 2p -b²) = 0

Mais ensuite comment je me débrouille ?
Désolé je ne comprends vraiment pas...

Bonsoir,

J'arrive à (2p +1)² -2b² = 1
4p² + 4p +1 -2b² = 1
4p² + 4p + 1 -2b² = 1

4p² +4p -2b² = 0
2 (2p² + 2p -b²) = 0

2p² +2p -b² = 0
b² = 2p² + 2p
b² = 2 (p² + p)

On sait donc que b² est pair...

Ensuite j'ai juste à démontrer que b est toujours pair c'est ça du genre :
1/ Si b est pair, alors b² est pair aussi et donc -2b² est pair
2/ Si b est impair, alors b² est impair et donc -2b² est pair

Donc dans tous les cas -2b² est pair... Euh en fait je reste bloqué pour dire que b n'est pas pair (je dois faire un raisonnement spécial nan ?)
Merci en tout cas

Bonsoir,

Vous avez bien avancé. Vous avez donc que b² est pair. Il ne reste plus qu'à démontrer que b l'est également. Il faut effectivement étudier les deux cas... Si b est pair alors b² est pair (Ok).
Si b est impair, alors b² est également impair or on sait que b² est pair donc b ne peut pas être impair...

Bonne continuation.

Bonsoir,
Merci j'ai compris comment il faut procéder (j'avoue que je m'y perds dans les mots mais bon lol)

Par contre j'ai une autre question

J'aimerais savoir comment je peux déterminer avec une calculatrice 4 couples d'entiers inférieurs à 100 vérifiant a² 2b² = 1 ?
J'ai trouvé (3 ; 2) mais après j'ai du mal à trouver...

(J'ai pu trouver aussi (3 ; -2) ; (-3 ; -2) et (-3 ; 2) et comme justification je pourrais dire qu'un nombre positif ou négatif élevé au carré est le même mais en fait j'ai un souci de ''CONSIGNE'' car dans l'énoncé de l'exercice on a ''a et b sont deux entiers NATURELS tels que...'' et la consigne de cette question est ''Déterminer à l'aide d'une calculatrice, 4 couples d'entiers inférieurs à 100 vérifiant a² -2b² = 1... Comment faire avec la calculatrice par ailleurs s'il vous plaît ?)

Ensuite, je voudrais savoir, comment je peux démontrer que si (a ; b) est solution, alors le couple (A ; B) avec A = 3a +4b et B = 2a +3b est encore solution ?

Merci beaucoup pour votre aide !

Bonsoir,

Je te propose de t'armer de patience et de tester les nombres entiers à la recherche des couples demandés... En fait comme b est pair, il n'y a tant de nombres à tester...

Bon courage.

Bonsoir,
Je ne trouve que trois couples..

A savoir (3;2) (17;12) et (99;70)...
Comment je peux faire sachant que j'ai tout essaye ?