DM sur les fonctions, limites,... urgent !

[Mdm]

Bonjour bonjour.
Je suis en train de faire un dm (Terminale S), ca fait une semaine que je suis dessus et franchement je ne vois pas du tout comment m'y prendre :(
Voilà le sujet, un coup de main serait le bienvenu :

On définit la fonction f sur [0;+inf[ par : f(x) = x/ √(x²+3x+1)

1. Démontrer que pour tout réel x≥0 , x≤ √(x²+3x+1)≤x+2
2. Démontrer que pour tout réel x≥0 , 1-(2/x+2) ≤ f(x) ≤ 1.
3. Quelle est la limite de la fonction f en +inf ? Justifier et citer le théorème utilisé.

Voilà. Pour la question 3 Je vois bien qu'il faut utiliser le théorème des gendarmes, c'est surtout sur la 1. et la 2. que je n'arrive pas à faire.

Merci d'avance pour votre aide !!!

M. ~

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour la question 1, tu es sur les réels positifs et sur cet intervalle les nombres sont dans le même ordre que leurs carrés donc il te suffit de partir de l'inégalité, de l'élever au carré et de prouver que celle-ci est vraie.
La deuxième question est une conséquence de la première.....

[Mdm]

Merci beaucoup pour votre aide.

Cependant, (je dois me tromper quelque part), en mettant au carré l'inégalité et en la résolvant, je tombe sur -1/3 \(\leq\) x \(\eq\) 3 , ce qui me parait faux ? Je vous poste le détail du calcul :

x² \(\leq\) x²+3x+1 \(\leq\) x²+2x+4
0 \(\leq\) 3x+1 \(\leq\) 2x+4 (<-- Je retire le x² présent dans chaque membre de l'inéquation)
-1/3 \(\leq\) x \(\leq\) 3 (<-- J'échange les termes en x et les autres termes de sorte à obtenir x isolé)

Je ne vois pas où est l'erreur :(

Merci d'avance

[sos-math(21)]

Rappelle toi les identités remarquables : \((x-2)^2=x^2-2\times2\times\,x+2^2=x^2-4x+4\)

[Mdm]

Oh la honte ! Dans mon élan j'ai fait (x+2)² vite fait sans voir la faute ^^'.

Je tombe sur -1/3 \(\leq\) x \(\geq\) -3 ... On devrait tomber sur x \(\leq\) 0 non ? Je m'y perds !

Merci d'avance et désolée de vous embêter ^^"

[SoS-Math(9)]

Bonjour,

Le problème dans votre raisonnement est que vos inégalités ne sont équivalentes ....
Exemple : si \(\sqr{x}<3\), alors x < 9
Mais si x < 9, alors on n'a pas \(\sqr{x}<3\) (sauf si on ajoute la condition x >= 0) !

Donc pour démontrer vos inégalités, il faut étudier le signe de la différence ....
Rappel : a < b <=> a-b < 0 (a-b négatif).

Donc étudier le signe de √(x²+3x+1) - x et de √(x²+3x+1) - (x+2).
Pour cela il faut utiliser la forme conjuguée ....
Rappel : √(a) - b = \(\sqr{a}-b=\frac{(\sqr{a}-b)(\sqr{a}+b)}{\sqr{a}+b}=....\) (à toi de terminer.)

SoSMath.