SOS-MATH

Bonjour, j'ai beaucoup de difficultés pour commencer cet exercice. Je ne sais pas comment démarrer.
Voici l'énoncé et la première question:
Soit f la fonction définie, pour tout réel x différent de 1, par:
f(x)= (x+1)/((x^3)-1)
On désigne par C sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormal (O;i,j).

1) Démontrer que, pour tout réel x différent de 1:
f'(x)= P(x)/ ((x^3)-1)^2 où P est une fonction polynôme de degré 3 que l'on précisera.
u/v= (u'v-uv')/v²

f'(x)=(x^3)-1-(x+1)(3x²)/((x^3)-1))^2=-2x^3-3x²-1/((x^3)-1))^2 donc je dis que P(x)=-2x^3-3x²-1?

2°) Etudier les variations de la fonction P sur R et démontrer que l'équation P(x)=0
admet une unique solution (alpha) dont on donnera une valeur approchée à 10^-2 près.
En déduire le signe de P(x) selon les valeurs du réel x.
Est-ce que je dérive P(x)?

3° En utilisant les questions précedentes , determiner les variations de la fonction f sur les intervalles où elle est définie .

4°a) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point A ( 0 ; -1 ) .
b) Préciser la position de C par rapport à la droite T .

5° Préciser la position de C par rapport à sa tangente au point d'abscisse -1 .

6° Vérifier les résultats obtenus précédemment en visualisant à la calculatrice la courbe C et les tangentes .

Bonsoir,

Ton début de travail est correct. Pour étudier la variation de P sur \(\R\) il faut étudier le signe de sa dérivée. Tu va ainsi démontrer que ce polynôme ne s'annule qu'une unique fois. La continuité du polynôme et quelques calculs vont te permettre d'approcher cette racine à \(10^{-2}\) près.
Utilise la racine pour construire le tableau de variation de f.

Bonne continuation.

voilà mon tableau est-ce qu'il faut que je dise que la fonction est défini sur R et continu?

Bonjour Phoenicia,

ton tableau est faux .... car -1 < 0 !
Il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiares pour résoudre P(x)=0, donc il faut dire que P est continue sur IR, et donc sur l'intervalle qui t'intéresse (]-oo ; -1[).

SoSMath.

Ok alors d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel tel que P(x)=0 c'est tout ce qu'il faut dire? Après pour la valeur approchée je le fais à la calculatrice?

en fait je n'ai pas compris la différence entre la bijection et le th. de la valeur intermédiaire?

voilà j'ai -1.67 \(\leq\)a\(\leq\)-1.68
et pour en En déduire le signe de P(x) selon les valeurs du réel x? Je dis que pour x \(\leq\) -1.67 P(x) est négatif et pour x \(\geq\) -1.68 P(x) est positif?

Mais pourquoi l'intervalle ]-oo ; -1[?

Pour 3° En utilisant les questions précedentes , determiner les variations de la fonction f sur les intervalles où elle est définie ?
Je pense qu'elle est définie sur R-{1}?

voici mon tableau

Phoenicia,

Avant de remettre un message, il faut attendre que l'on te réponde ....

D'après ton tableau de variation, pour x > -1, P(x) < 0, donc P ne s'annule pas pour x \(\in{}]-1;+\infty[\).
Sur \(]-\infty;-1]\) P est décroissante de \(+\infty\) à -2, et comme ta fonction P est continue sur IR
alors d'après le théorème des valeurs intermédiares, il existe c \(\in{}]-\infty;-1]\) tel que p(c) = 0.

* Pour l'encadrement de c (a pour toi) cela semble juste.

Question 3 : tu as f '(x) = P(x)/((x^3)-1))² donc f '(x) est du signe de P(x) .... Et quel est le signe de p(x) ?

Question 4a : utilise une formule vu en cours ...
Question 4b : Pour étudier la position de tes deux courbes, il faut étudier le signe de la différence f(x) - (ax+b)
où y=ax+b est l'équation de la tengente à la courbe de f au point A.

Bon courage,
SoSMath.

Ton tableau est faux !

Tu as prix le signe de p'(x) et celui de p(x) ....

SoSMath.

merci mais pourquoi on ne peut pas prendre p'(x)?

car f '(x) = p(x)/((x^3)-1))² ....

SoSMath.

mais p(x) est du signe de p'(x)?