nombres irrationnels

[lise]

Bonsoir,
Dans un exercice on nous a donné: Soit ''a'' appartenant a l'ensemble N tels que RACINE(a) n'appartenant pas a N,montrer que RACINE(a) n'appartient pas a Q.
Je pense qu'il faut montrer que RACINe(a) ne peut s'ecrire sous forme de fractions irréductible???

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Lise,

Ce n'est pas du tout évident de le démontrer, tu suppose que \(\sqrt{a}=\frac{p}{q}\) avec \(p\) et \(q\) premiers entre eux, (ils n'ont aucun facteur commun).
Ensuite tu élève au carré et tu as \(a\times{q^2}=p^2\) ensuite tu dois en déduire que \(a\) divise \(p^2\) puisque \(q^2\) ne divise pas \(p^2\). Comme \(p^2\) est un carré, le facteur \(a\) figure aussi au carré dans "\(p^2\)" donc si tu simplifies par \(a\) il va rester un facteur \(a\) dans le quotient et ce quotient ne peut plus être un carré donc ne peut être égal est \(p^2\).
Tu arrives donc à une contradiction et ta supposition \(\sqrt{a}=\frac{p}{q}\) est absurde et tu peux conclure.

Ceci n'est qu'une ligne directrice, il faut maintenant rédiger cette démonstration bien plus rigoureusement.

Bon courage

[lise]

je ne comprend pas

comme p^2 est un carré le facteur a figure aussi au carré dans ''p^2'' donc tu simplifie par a il va rester un facteur a dans le quotient et ce quotient ne peut plus etre un carré

on a ''a'' divise p^2 <=> p^2 = k.a
<=> p^2/a =k (c'est ce que vous vouliez dire avec '' tu simplifie par a il va rester un facteur a dans le quotient''??)
pourquoi alors k ou (p^2 /a ) ne peut pas etre un carré ??

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

J'ai oublié de te dire qu'il suffit de démontrer la propriété pour les nombres premiers.
Un nombre se décompose d'une manière unique en produit de facteurs premiers, pour être un carré toutes les puissances des facteurs premiers doivent être pairs pour pouvoir prendre la racine carré en divisant par deux chaque exposant : exemple \(324=2^2\times3^4\) sa racine est \(18=2^1\times3^2\).
Si \(p^2\) est un carré, donc le facteur \(a\) figure avec une puissance paire, et si tu divises par \(a\) la puissance devient impaire, donc \(\frac{p^2}{a}\) ne peut plus être égal à un carré \(q^2\).

Bon courage

[lise]

je commence a voir plus clair . merci

[lise]

pour ce qu'il faut démontrer , il faut démontrer que'' Un nombre se décompose d'une manière unique en produit de facteurs premiers'' ou toute la phrase ''Un nombre se décompose d'une manière unique en produit de facteurs premiers, pour être un carré toutes les puissances des facteurs premiers doivent être pairs pour pouvoir prendre la racine carré en divisant par deux chaque exposant'' ??

[SoS-Math(9)]

Bonjour Lise,

Tu as trouvé que a divise p².

Soit p =p1p2...pn où p1, .., pn sont les facteurs 1er de la décomposition de p (ici je peux avoir des facteurs égaux)
alors p²=p1²p2²...pn².
Comme p1, ..., pn sont des nombres premiers alors a est premier avec tous les facteurs p1, ..., pn.
Or a divise p², donc a est le produit de plusieurs des facteurs p1², p2², ... ,pn².
Donc a peut s'écrire sous la forme d'un carré, ce qui contredit l'hypothèse \(\sqr{a}\) n'appartient pas à Q.

SoSMath.

[lise]

une question un peu bete :
est ce que le commentaire 3 :

de SoS-Math(9) le Sam 17 Sep 2011 14:16
Bonjour Lise,

Tu as trouvé que a divise p².

Soit p =p1p2...pn où p1, .., pn sont les facteurs 1er de la décomposition de p (ici je peux avoir des facteurs égaux)
alors p²=p1²p2²...pn².
Comme p1, ..., pn sont des nombres premiers alors a est premier avec tous les facteurs p1, ..., pn.
Or a divise p², donc a est le produit de plusieurs des facteurs p1², p2², ... ,pn².
Donc a peut s'écrire sous la forme d'un carré, ce qui contredit l'hypothèse \sqr{a} n'appartient pas à Q.

montre une methode differente du commentaire 3

Bonsoir,

J'ai oublié de te dire qu'il suffit de démontrer la propriété pour les nombres premiers.
Un nombre se décompose d'une manière unique en produit de facteurs premiers, pour être un carré toutes les puissances des facteurs premiers doivent être pairs pour pouvoir prendre la racine carré en divisant par deux chaque exposant : exemple 324=2^2\times3^4 sa racine est 18=2^1\times3^2.
Si p^2 est un carré, donc le facteur a figure avec une puissance paire, et si tu divises par a la puissance devient impaire, donc \frac{p^2}{a} ne peut plus être égal à un carré q^2.

Bon courage

ou c'est la meme methode ? parce que au niveau du raisonnement je suis un peu perdue

[SoS-Math(9)]

Lise,

C'est la même méthode ! (c'est la rédaction qui est différente.)

SoSMath.