Etude de fonction

[Nick]

Bonjour
Je rencontre un petit problème pour répondre à deux questions d'un exercice..

Voici l'énoncé : On considère la fonction f définie par f(x) = V(x² - x +1) et on note Cf sa courbe représentative.
1) Sans utiliser la dérivation, étudier la monotonie de la fonction f sur l'intervalle [ 0,5 ; +inf[ puis en déduire la monotonie sur ]-inf ; 0,5].

2) Montrer que pour tout réel x, f(x) >= (V3)/2.
Montrer que (V3)/2 est le minimum absolu de f et interpréter géométriquement.


Pour la première question, je vois difficilement comment faire sans la dérivation... Pour la deuxième question en revanche j'ai essayé de trouver une solution en "bricolant" un peu, ce qui me donne:
f(x) = V(x²-x+1). On peut donc supposer qu'il s'agit d'une fonction composée goh avec g(x) = Vx, et h(x)= x²-x+1.
Or le minimum de h est atteint en 0,5 d'après la formule -b/2a. Pour f(0,5) on obtient bien (V3)/2, or le minimum de h est atteint en 0,5. On peut donc en déduire que le minimum de f est donc bien V3/2 atteint en x= 1/2.

Merci pour votre aide, par avance.

[sos-math(21)]

Bonjour,
L'idée de la décomposition me semble pas mal : pour ta première fonction du second degré, c'est une parabole orientée vers le haut (coeff de \(x^2\) positif) et de sommet \(\frac{-b}{2a}=0,5\) donc elle est bien croissante sur l'intervalle \([0,5;+\infty[\). De plus, la fonction racine carrée étant elle aussi croissante sur \(\mathbb{R}_{+}\) et a fortiori sur l'intervalle image de \([0,5;+\infty[\) par la première fonction, on a par composition la croissance sur l'intervalle considéré.
On peut faire la même chose de l'autre côté (ou utiliser la parité de la fonction par rapport à x=0,5 mais c'est une autre histoire...)
Pour la suite il faut partir de \(f(x)\geq\,\frac{\sqrt{3}}{2}\) puis élever au carré et tout passer de l'autre côté puis factoriser...
Ensuite il reste à montrer que \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), ce qui prouve que c'est un minimum absolu..

[Nick]

Merci pour votre réponse,

Je pense avoir réussi à prouver la monotonie de f sur [0,5 ; +inf[. Cependant, comme on nous dit de "déduire" la monotonie sur l'autre intervalle, je pense devoir utiliser la parité par rapport à x=0,5 pour y arriver. Cependant bien que cela me paraisse clair, je ne l'arrive pas à l'exprimer correctement... Pourriez vous me donner une indication svp?

[sos-math(21)]

Pour obtenir la symétrie par rapport à x=0,5, il faut vérifier que le domaine de définition est symétrique par rapport à 0,5 : c'est à dire si pour tout x tel que 0,5+x soit dans le domaine alors 0,5-x l'est aussi, et il faut vérifier alors que \(f(0,5+x)=f(0,5-x)\)
A toi de faire le calculs

[Nick]

Bonjour,
Merci de m'avoir répondu. En revanche, veuillez m'excuser pour cette réponse aussi tardive..
En tout cas, vous m'avez demandé de vérifier si f(x+0,5) = f(x-0,5). La réponse est oui, et c'est même une question posée dans l'exercice.

Pour la deuxième question, montrer que f(x) >= (V3)/2, j'ai élevé au carré, ce qui me donne :
x²-x+1 >= 3/4
x²-x+1/4 >= 0
Delta = 0, il y a une solution qui est x=1/2.

Or f(1/2) = V0,5² - 0,5 +1
= (V3)/2.
De là, on en déduit que (V3)/2 est bien un minimum de f.

Cependant, on nous demande de prouver qu'il s'agit du minimum ABSOLU, c'est a dire que f n'admet uniquement qu'un seul minimum... Par contre pour la justification, je ne vois pas du tout comment faire.
Pourriez vous m'aider ?

Merci d'avance.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Nick,

tu as montré que (V3)/2 était un minimum pour f sur IR.
D'après ton tableau de variations tu n'as pas d'autre minimum, donc (V3)/2 était un minimum absolu.

SoSMath.