Bonjour à tous !
J'ai un petit souci au niveau d'un exercice de maths...
Voici l'énoncé
"Soient les suites (Xn) et (Yn) définies par X0 = 1 et Y0 = 8 et pour tout n de N, Xn+1 = 7/3 Xn + 1/3 Yn +1 et Yn+1 = 20/3 Xn +8/3 Yn +5"
1. Démontrer par récurrence pour tout n de N, 5Xn -Yn +3 = 0
==> Initialisation : On vérifie que Po est vraie.
5X0 -Y0 +3 = 5 - 8 + 3 = 0 Po est bien vraie.
Hérédité : Soit n >= 0. Supposons que Pn est vraie, c'est-à-dire que 5Xn -Yn + 3 = 0
Montrons que Pn+1 est vraie, c'est-à-dire que 5Xn+1 -Yn+1 + 3 = 0
5Xn+1 -Yn+1 + 3
= 5 (7/3 Xn + 1/3 Yn +1) - (20/3 Xn +8/3 Yn +5) +3
= 35/3 Xn + 5/3 Yn +5 - 20/3 Xn - 8/3 Yn -5 +3
= 5 Xn -Yn +3
Pn+1 est vrai également, donc la propriété Pn est héréditaire.
Conclusion : Pour tout n >= 0, 5Xn -Yn +3 = 0
2. En déduire que pour tout n de N, Xn+1 = 4Xn +2
==> D'après 5Xn - Yn +3 = 0
Yn = 5Xn + 3
On remplace dans Xn+1 = 7/3 Xn + 1/3 Yn +1
Xn+1 = 7/3 Xn + 1/3 (5Xn +3) +1
Xn+1 = 12/3 Xn + 2
Xn+1 = 4 Xn +2
3. Soit (Vn) la suite définie par, pour tout n de N, Vn = Xn + k (k appartenant à R)
Trouver k pour que (Vn) soit une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme
==> Ici je bloque.. J'ai essayé de faire Vn+1 = Xn+1 +k
Et je remplace Xn+1 je trouve donc
Vn+1 = 4Xn + 2 + k
Vn+1 = 4 (Xn + 1/2) +k
Que puis-je faire maintenant ? J'avoue que je sais pas trop quoi faire...
Merci de votre aide !
John
Suites
-
SoS-Math(11)
- Messages : 2881
- Enregistré le : lun. 9 mars 2009 18:20
Re: Suites
Bonsoir John,
Tu as bien \(V_n=X_n+k\),
Puis \(V_{n+1}=X_(n+1)+k=4X_n+2+k\) et d'autre part comme \(V_n\) est une suite géométrique et que sa raison est 4 puisque \(X_{n+1}=4\times{X_n}+2\) tu en déduis \(V_{n+1}=4\times{V_n}=4(X_n+k)=4X_n+4k\).
En utilisant les deux expressions de \(V_{n+1}\) tu pourras en déduire la valeur de k.
Bon courage
Tu as bien \(V_n=X_n+k\),
Puis \(V_{n+1}=X_(n+1)+k=4X_n+2+k\) et d'autre part comme \(V_n\) est une suite géométrique et que sa raison est 4 puisque \(X_{n+1}=4\times{X_n}+2\) tu en déduis \(V_{n+1}=4\times{V_n}=4(X_n+k)=4X_n+4k\).
En utilisant les deux expressions de \(V_{n+1}\) tu pourras en déduire la valeur de k.
Bon courage
-
John (Terminale S)
Re: Suites
Bonsoir,
Je ne comprends pas comment vous pouvez voir que la suite (Vn) est géométrique de raison 4 en fait...
Vu que je dois trouver qu'elle ait géométrique, je suis censé dire qu'elle est géométrique de raison 4 ?
Désolé mais je ne comprends pas bien où vous voulez en venir...
Je ne comprends pas comment vous pouvez voir que la suite (Vn) est géométrique de raison 4 en fait...
Vu que je dois trouver qu'elle ait géométrique, je suis censé dire qu'elle est géométrique de raison 4 ?
Désolé mais je ne comprends pas bien où vous voulez en venir...
-
SoS-Math(9)
- Messages : 6351
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: Suites
Bonjour John,
Ontrouve 4 en observant l'expression de \(V_{n+1}\) ...
en effet on a \(V_{n+1}=4X_n+2+k\)
et comme on veut une suite géométrique, alors on a aussi \(V_{n+1}=pV_n=q(X_n+k)=qX_n+qk\).
On peut ainsi en déduire q en identifiant les coefficient de \(X_n\) dans les deux expressions de \(V_{n+1}\).
On aussi k à l'aide de cette identification ....
SoSMath.
Ontrouve 4 en observant l'expression de \(V_{n+1}\) ...
en effet on a \(V_{n+1}=4X_n+2+k\)
et comme on veut une suite géométrique, alors on a aussi \(V_{n+1}=pV_n=q(X_n+k)=qX_n+qk\).
On peut ainsi en déduire q en identifiant les coefficient de \(X_n\) dans les deux expressions de \(V_{n+1}\).
On aussi k à l'aide de cette identification ....
SoSMath.