Dm sur les fonctions, terminale S

[Anto]

Bonjour;
je suis en train de faire mon dm et je rencontre quelques problèmes. Voici l'énoncé :

Exercice 1 :

Soit f la fonction définie par : f(x) = 1/(1+x+x²).

Etudier f, et tracer sa courbe représentative (T) dans le plan muni d'un repère orthonormé (on choisira pour unité de longueur au moins 5 cm). On note A et B les points de (T) d'abscisses respectives 0 et 1. Tracer la droite (AB) et les deux tangentes en A et B à la courbe T par rapport à la droit (AB) et à ces deux tangentes.

Exercice 2 :

PARTIE A :

Soit p la fonction numérique de la variable réelle x telle que :

p(x)= (3x²+ax+b)/(x²+1)

Déterminer les réels a et b pour que la courbe représentative de p soit tangente au point I de coordonnées (0; 3) à la droite (T) d'équation y=4x+3.

_

PARTIE B :
Soit f la fonction numérique de la variable réelle x telle que :

f(x)=(3x²+4x+3)/x²+1)

1) Montrer que pour tout x réel, on a f(x)=alpha+ betax/x²+1, alpha et beta étant deux réels que l'on déterminera.
2) Etudier la fonction f.
3)Etudier la position de la courbe (C) représentative de f par rapport à la tangente (T) au point I de coordonnées (0; 3).
Démontrer que I est centre de symétrie de (C).
4) Construire la courbe (C); on prendra pour unité 2 cm.
5) Soit g la fonction numérique de la variable réelle x telle que :

g(x)=(3x²+4IxI+3)/(x²+1)

Soit (C') la courbe représentative de g.
Sans étudier la fonction g, construire en pointillé la partie de (C') non contenue dans (C). (Justifier.)

Mes débuts de réponses (n'hésitez pas à critiquer la rédaction : mon professeur est pointilleux et j'ai quelques problèmes avec) :

Exercice 2 :

La fonction f est rationnelle - et définie sur Ef=IR, car la variable x est élevée au carré.

Calculons f'(x).
La fonction f est de la forme 1/U.
Donc f'(x) sera de la forme -U'/U²
(Je vous passe le détail du calcul)
Soit f'(x)= -1-2x/(1+x+x²)²

Tableau de signe : Je trouve f'(x) positive de -l'infini à -1/2 (exclus) et négative de -1/2 à + l'infini (exclus), les variations de f(x) sont, en conséquence : croissante de 0 à 4/3 puis décroissante jusqu'à 0.

Justification des limites :
La limite de f(x) lorsque x tend vers - l'infini ou + l'infini est 0; car les deux variables x sont additionnées et l'un est élevé au carré. Le numérateur étant une constante, il est dans les deux cas de x divisé par l'infini. Donc, lim f(x) = 0.

A partir de là, j'ai suivi la démarche d'un camarade en effectuant les calculs moi même, mais sans vraiment comprendre le pourquoi du comment. Si vous pouviez m'expliquer, merci!
Calculons l'équation de la tangente aux points d’abscisses 0 et 1.

Y=f'(a)(x-a)+f(a)
(je passe les calculs)

Ya= -1x+1

Yb= -1/3 x + 2/3

Voilà voilà!
Merci beaucoup, d'avance.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Anto,

Attention sur ce site, on n'évite de corriger les exercices. Tu as un professeur pour cela.
On aide les élèves à trouver des réponses aux questions auxquels ils ne trouvent pas de solution.

Cependant, j'ai regardé ce que tu as fait et cela semble juste ... sauf l'équation de la dérivée au point d'abscisse 1 (je trouve f'(1)=-1 et non -1/3 ?).
Tu demandes des explications ... mais sur quel sujet ? limites ? tangentes ?

SoSMAth.

[Ant]

Bonjour!
Je ferai attention la prochaine fois, pardon.

En fait, je sais faire l'étude complète d'une fonction ou trouver une équation de tangente; mais pour certains points des deux exercices, c'est le néant total. Les vacances ne m'ayant pas aidé à me souvenir des méthodes, j'aimerai que vous m’éclaircissiez sur la démarche à suivre.

Pour l'exercice 1, une fois que j'ai déterminé les équations de tangentes aux points de (T) d'abscisses respectives 0 et 1, comment savoir où et comment tracer la droite (AB) ? Je crois me souvenir qu'il faille soustraire la fonction f(x) aux équations de tangentes ou utiliser une autre formule, mais c'est très vague. Faut il tracer la courbe (T) également? Si oui comment? (je connais les variations, mais ça ne me donne pas le tracé précis de la courbe).

Quand on me demande d'étudier la position de (T) par rapport à la droite (AB) et à ces deux tangentes, que dois-je faire concrètement (la marche à suivre)?

Pour L'exercice 2; je tique sur presque toutes les questions.
De même que pour les tangentes de l'exercice 1, j'ai suivi la démarche d'un camarade sans vraiment savoir ce qu'il faisait.
Dans la partie A, j'ai donc calculé la dérivée de f(x) qui est de la forume U/V et définie sur IR, et ai trouvé : (6x+4x²-2ax²-2bx+4)/(x²+1)². Mais ça ne m'avance pas beaucoup, car je n'ai toujours pas d'idée sur comment faire pour déterminer a et b.

Dans la partie B, j'ai étudié f(x).
Son signe dépend du numérateur, donc il faut utiliser la forme canonique.
Delta = b²-4ac
Delta = 16-4(3)(3)
Delta = -20

Delta<0; le numérateur n'admet donc aucune racine. Ef=IR.

Je calcule la dérivée :
La fonction est de la forme U/V.
Donc f'(x) = (U'V-UV')/V²
Soit f'(x) = ( (6x+4)(x²+1)-(3x²+4x+3)(2x) )/(x²+1)²
f'(x) = (6x^3+6x+4x²+4-(6x^3+8x²+6x) )/(x²+1)²
f'(x) = (6x^3+6x+4x²+4-6x^3-8x²-6x)/(x²+1)²
f'(x) = (4x²+4-8x²)/(x²+1)²

f'(x) = (-4x²+4)/(x²+1)²
(Cette forme est-elle bonne ou devrais-je factoriser (-4x²+4)?)

Je donne l'ensemble de dérivation (on regarde le numérateur car la variable x² est forcément positive) :
f'(x) est dérivable sur IR-(1; -1).

Pour le tableau de signes, j'obtiens :
f'(x) positive de - l'infini à -1 puis négative jusqu'à 1 et positive vers +l'infini.
f(x) est croissante jusqu'à 1, puis décroissante jusqu'à 3 et enfin croissante de nouveau.

Déterminons les limites de f(x) vers l'infini.
Lorsque x tend vers - l'infini, lim f(x) = 0 car f(x) est de la forme +l'infini/+l'infini
Lorsque x tend vers + l'infini, lim f(x) = 0 car f(x) est de la forme +l'infini/+l'infini

Donc : f(x) est croissante de +l'infini à 1, puis décroissante jusqu'à 3 et enfin croissante vers + l'infini.

Ensuite, il faut étudier la position de la courbe (C) représentative de f par rapport à la tangente (T) au point I de coordonnées (0; 3), mais comment faire? (on retrouve cette question dans le premier exo).
Soustraire y à f(x)? Si oui, que puis-je conclure en fonction du résultat?
Il nous est alors demandé de démontrer que I est centre de symétrie de (C), comment dois-je procéder?
Question 4. Quelle est à la méthode pour tracer cette courbe? (je me doute qu'il faille que je me serve de mes réponses aux questions précédentes, mais comme je n'ai pas su y répondre...)

La dernière question est un mystère. Vous pouviez m'éclairer? Comment déduire la position de (C') si l'on étudie pas g(x)?

Merci pour votre patience devant mon flot de questions. C'est très important pour moi de réussir ce dm, j'étais très juste l'année dernière pour passer en terminale, et je ne voudrais pas mal commencer l'année.

[Ant]

Excusez moi de poster deux réponses à la suite, mais j'ai oublié de répondre à votre remarque sur f'(1) de l'exercice 1. Pour ma part, après recalcul, je trouve toujours - 1/3. Vous avez peut-être oublié le carré au dénominateur? Sinon peut-être que le détail du calcul m'indiquera mon erreur?)
Voilà.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Ant,

Tu poses beaucoup de questions ...
Tout d'abord, après vérification, tu as raison pour f'(1), on trouve -1/3.

* Pour connaître la position de deux courbes de fonctions f et g, on étudie le signe de f(x) - g(x).
Remarque si on a une droite d'équation y=ax+b et la courbe d'une fonction f, on étudie le signe de f(x) - (ax+b).

* Exercice 2
Partie A : il faut utiliser le fait que la courbe de p passe par I(0;3), donc p(0) = 3.
Et le fait que cette courbe soit tangente à la droite d'équation y=4x+3 en I, donc p'(0)=4.0
Rappel : le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est égale à f'(a).

Partie B :
Pour observer la courbe de g, tu peux la tracer sur ta calculatrice ...

SoSMath.

[Ant]

Rebonjour!
Je pense avoir réussi l'exercice 1 avec quelques indications.

Pour Yb.

On étudie la différence entre f(x) et yb :
f(x) - y = 1/1+x+x² - ( -1/3 x +2/3 )
= x^3 - x² -x +1 /3(1+x+x²)
= x²(x-1)- (x-1)/....
=(x-1) ( x-1) (x+1)/....
(x-1)²(x+1 )/....

donc le signe de la différence est celui de x+1 car : (x-1)² est supérieur ou égal à 0 , et 1+x+x² > 0 car son discriminant est négatif.

Donc :

si x > -1 (c) est au dessus de la tangente
si x < -1 (c) est au dessous de tangente
(T) et la tangente se rencontrent en -1.

Pour Ya :

(x) - y = 1/1+x+x² - (-x+1)
=/1/1+x+x² +x -1
= x^3 +x² +x -1 -x - x²/1+x+x²
= x^3 -1 /1+x+x²

Le signe de l’équation dépend de x^3-1 car 1+x+x²>0.

si x>1(T) est au dessus de la tangente
si x<1(T) est en dessous de la tangente
si x=1 la courbe et sa tangente se rencontrent.

Pour la droite AB :
Il faut trouver l’équation de la droite.
m = (yB − yA) / (xB − xA) eq à m = (yB − yA) / 1 equ à m= (yB − yA).

Maintenant il me faut trouver les ordonnées. Je crois savoir comment faire, mais j'ai un doute.
Il faudrait calculer f(0) pour yA et f(1) pour yB?

Pour l'exercice 2 partie A, j'ai commencé à répondre :

P'(x) = (6x-ax²+a-2bx)/(x²+1)². (d'ailleurs, dois-je déterminer ef et ed même avec les variables a et b?)
Je calcule P(0)= b. Or, I est de coordonnées (0; 3) equ à : (x; y).
y=3, donc P(0) = y = 3?

P'(0)=4.
J'ai y=ax+b et y= f'(a)(x-a)+f(a).
Donc ax+b = f'(a)(x-a)+f(a).
On sait que y=4x+3.

Donc 4x+3=f'(0)(x-0)+f(0)=ax+3.
Alors a=4.

C'est une personne tierce qui m'a indiqué ce dernier raisonnement. Je me pose une question : pourquoi utiliser 0 et pas 4? a=4 pourtant, non?

En fait, je ne comprends pas le but de tout ce raisonnement, puisque dès le début l'énoncé nous dit que "y=4x+3". Pourquoi ne pas directement déduire de cette formule a=4 et b=3?

[SoS-Math(9)]

Pour l'exercice 1, la méthode est juste ! Et en effet il faut calculer f(0) et f(1) pour trouver ya et yb.

Exercice 2 :
Peux-tu me donner p(0) et p'(0) en fonction de a et b ?

SoSMAth.

[Ant]

Ensuite,
Je trouve m=-2/3
f(x)-m= (-1+2x+2x²)/(3+3x+3x²)
J'ai calculé le delta du numérateur et du dénominateur, dans les deux cas négatifs. Donc aucune racine
Est-ce possible? Si oui, qu'est-ce que cela implique?

Pour l'exercice 2 partie A, p(0) = b et p'(0)=4. Comme l’équation de la tangente vaut y=4x+3, de la forme ax+b, on retrouve a=4 et b=3 c'est ça? Je ne comprends pas très bien votre consigne.

[SoS-Math(9)]

Ant,

Exercice 1
Oui tu peux trouver deux fois le discriminant négatif !
Et lorsque le discriminant est négatif, tu peux en déduire le signe de ton polynôme ... (voir ton cours).

Exercice 2
Ma méthode est "simple" ... je traduis mathématiquement mes hypothèses !
Si tu avais bien lu un de mes messages précédents, je te l'ai expliqué ....

Rappel de cours :
* Si M(x;y) appartient à la courbe de f, alors y=f(x)
* le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est égale à f'(a).

Application à l'exercice :
* la courbe de p passe par I(0;3), donc p(0) = 3.
* la courbe de p est tangente à la droite d'équation y=4x+3 en I(0;3), donc p'(0)=4.

Bon courage,
SoSMath.

[Ant]

Oh, d'accord! Donc les deux polynômes serait positifs peu importe la valeur de x. Cela veut-dire que la courbe représentative de la fonction f est au dessus de la droite (AB) de -l'infini à +l'infini?

J'ai bien lu toutes vos réponses! Seulement, j'ai parfois du mal appréhender certains raisonnement en mathématiques. Donc je passe à côté du sens.

D'après ce que vous m'avez dit, "le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est égale à f'(a).",
y=p'(0) <=> y=a <=> a=p'(0), 0 étant l'abscisse du point I.
p'(0)=4, donc a=4. Est-cela?
(Je comprends la démarche, mais me demande toujours pourquoi ne pas directement déduire a et b de y=4x+3. Est-ce une affaire de justification? (Si je dis une bêtise avec cette question, ce n'est pas voulu. Je cherche simplement à comprendre le pourquoi du comment) )

[sos-math(21)]

Bonjour,
Pour la tangente, le raisonnement me semble correct.

[Ant]

Bonjour!

Exercice 1 :

J'ai un problème avec mon graphique, pouvez vous m'aider?

Explication :
J'ai tracé la courbe représentative de f(x) avec un pas de 0.2 dans l'intervalle [-2;2]. Pour cela, j'ai multiplié les valeurs obtenues de f(x)=y par 5 afin obtenir en cm l'endroit où le point y s'appliquait (de même, j'ai multiplié x par 5).

Mais une fois que je trace la droite AB, elle croise ma courbe (T) en 3 points. A, B et un autre.
Normalement, la droite AB n'est-elle pas censée être en dessous de (T) de -l'infini à +l'infini puisque f(x)-m est toujours positif? (du signe de a car les deux deltas sont <0. )

J'ai joint mon graphique sur feuille millimétrée au message.

Exercice 2 :

Si M(x;y) appartient à la courbe de f, alors y=f(x).
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est égal à f'(a).

Application à l'exercice :
* la courbe de p passe par I(0;3), donc p(0) = 3.
* la courbe de p est tangente à la droite d'équation y=4x+3 en I(0;3), donc p'(0)=4.

J'ai compris vos indications, mais ce raisonnement est-il également correct ?

f'(0)=a
f(0)=b

y=4x+3 <=> y=f'(0)x+f(0)

Par identification : f'(0)=4 et f(0)=3.
Or, f'(0)=a et f(0)=b. Donc a=4 et b=3.

Il me semble que je puis employer les deux, non?

Pour la partie B :
1) Je mets alpha+ beta/x²+1 sous le même dénominateur, et par identification alpha=3 et beta=4.
Donc f(x)=3+4x/x²+1

2) F(x) est définie sur IR car (x²+1)>0. 1 étant une constante et x élevé au carré.
Je calcule les éventuelles racines du numérateur à l'aide de la forme canonique.
Delta=-20.
Donc f(x) est du signe de a.
a=3<=>a>0. Donc f(x)>0.

Je calcule la dérivée : f(x) est de la forme u/v donc f'(x)=(U'V-UV')/V²
Au final, f'(x)=(-4x²+4)/(x²+1)²

Les valeurs qui annulent f'(x) sont -1 et 1.

J'ai un trou : pour connaitre le signe de f'(x) de -linfini à -1, il faut prendre le signe contraire du porteur de x sur le numérateur? Sinon, comment procéder?

Pour le reste du tableau de signe, j'ai remplacé x par -1 et 1 et j'obtiens -2 et 5. Mais pour x qui tend vers + ou - l'infini, je trouve à chaque fois la forme indéterminée linfini / linfini, soit 0. Mais comment déterminer si c'est 0- ou 0+?

3)Je soustrait y à f(x).

y=4x+3 et f(x)=3+4x/x²+1.

J'arrive à (8x-4x^3+6x²+6)/(x²+1).
Ici, comment dois-je procéder?
J'ai essayé avec une racine évidente 1, mais je n'obtiens pas 0. Donc pas d'identification.

Merci d'avance.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Ant,

Tu poses trop de questions à la fois ! Et donc c'est difficle de te répondre ....

Je réponds pour l'exercice 1 !

Pour avoir la position de deux courbes, il me semble t'avoir dit comment procéder ...
Ici ta droite (AB) n'est horizontale, donc son éqution n'est pas y=m !!!!
L'équation de (AB) est y = (-2/3)x + 1 ... donc pour avoir les positions relatives, il faut étudier le signe de f(x) - ((-2/3)x + 1).

On verra plus tard pour l'exercice 2.

SoSMath.

[Ant]

D'accord, il faut donc employer la formule y=ab+x comme pour les tangentes.
Je trouve : (x(-1/3 - 1/3x + 2/3x²))/(1+x+x²).
Je calcule le discriminant.
Delta = 1.
Deux racines sont admises : x1= -1/2 et x2=1.

A présent, je dois faire un tableau de signe pour déterminer les intervalles où la courbe est au dessus ou en dessous de la droite (AB)?

Merci.

[SoS-Math(9)]

Ant,

Le discriminant c'est pour -1/3 - 1/3x + 2/3x² ... mais tu as x(-1/3 - 1/3x + 2/3x²) tu as oublié ton facteur x ?
Tu as les racines de ton trinôme, donc tu peux le factoriser : -1/3 - 1/3x + 2/3x² = 2/3(x - 1)(x ....) (à toi de compléter !)
Donc tu obtiens finalement (x(-1/3 - 1/3x + 2/3x²))/(1+x+x²) = (2/3 x (x - 1) (x ....))/(1+x+x²).
Maintenant tu peux faire un tableau de signes ...

Bon courage,
SoSMath.