valeur absolue

[Fabien Ts]

Bonjour,
j'ai un petit souci.
Je n'arrive pas à montrer que valeur absolue de (ac+bd)< (ou egal) 1 sachant que a,b,c et d sont des reels tels que a²+b²=c²+d²=1
Merci d'avance pour une petite piste.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Fabien,

Je ne suis pas très sur de ma méthode, mais si on a les égalités a²+b²=c²+d²=1 on peut considérer que a et b sont le cosinus et le sinus du même angle et donc sont les coordonnées d'un point A du cercle trigonométrique, de même pour c et d ce qui te donne un point B, ac + bd est alors le produit scalaire \(\vec{OA}\vec{OB}\), tu peux à partir de là en déduire la réponse avec une autre expression du produit scalaire.

Bonne continuation

[Fabien Ts]

Bonsoir,
Je suis désolé mais je ne vois pas quoi utilisé.
J'ai compris qu'on utilisait la formule générale : cos²x+sin²x = 1 pour tout réel x.
Ensuite OA.OB(produit sca) = ac +bd (âr les coordonnées).
Mais je ne vois pas ce qu'il faut faire apres.

Cordialement.

[SoS-Math(11)]

Rebonsoir,

\(\vec{OA}\vec{OB}=OA\times{OB}\times{cos(\vec{OA},\vec{OB})}\) comme OA=OB=1 et que |cos x| < 1 vous pouvez conclure.

Bon courage

[Fabien Ts]

Merci j'ai parfaitement compris :)

J'ai une autre question.
Je dois prouver que ac+bd> (ou =) ad+bc avec a>b et c>d. a,b,c et d sont des réels.
Auriez vous une idée sur ce qu' il serait judicieux de faire?
Merci et bonne soirée à vous.

[SoS-Math(11)]

Pour ce nouveau pb il faut appliquer la définition \(a\geq{b}\) si et seulement si \(a-b\geq{0}\), on fait de même avec c et d puis on multiplie (a-b) par (c-d) qui sera positif(>0) comme produit de deux positifs.
Il suffit de développer puis d'appliquer la propriété pour conclure.

Bonne continuation