SOS-MATH

Bonjour, j'essaie de faire des annales et il y a un exo sur les équa diff dont je ne comprends pas la correction. Pouvez vous m'expliquer s'il vous plait.
Voici l'énoncé: on considère l'équation diff: (E): y' + y = e(−x)
1/ Montrer que la fonction u défnie sur R par u(x)=xe(−x) est solution de l'équation diff (E)
Cette question c'est bon.
2/ On considère l'équa diff (E') : y' + y = 0. Résoudre l'équation diff (E') (j'ai aussi réussi a le faire)
3/ Soit v une fonction définie et dérivable sur R. Montrer que la fonction v est sol de l'équation différentielle (E) si et seulement si la fonction v-u est solution de (E'). (c'est bon aussi, c'est la question suivante que je ne comprends pas)
4/ En déduire toutes les solutions de l'équa différentielle (E)
a cette question je voulais dire que y'=e(-x)-y donc les solutions sont de la forme Ce(ax) -b/a <=> Ce(-x) + e(-x) mais dans la correctiob ils proposent: d'après la question 2, v-u est solution de l'équation différentielle (E') si et seulement si il existe un réel C tel que, pour tout réel x, (v-u)(x)=Ce(-x) <=> v(x)=Ce(-x)+u(x) <=> v(x)= (C+x)e(-x). Les solutions de (E) sont les fonctions v définies sur R par v(x)=(x+C)e(-x).
Pouvez vous me dire pourquoi ma démarche est fausse et pourquoi ils font comme ça, je ne comprends pas... Merci beaucoup

Bonsoir,

Tout d'abord, votre démarche est fausse, car vous ne pouvez pas appliquer ici le théorème permettant de résoudre
l'équation différentielle y ' = ay+b à l'équation (E) : y ' = -y + exp(-x).

En effet, il faudrait identifier b à exp(-x), ce qui n'est pas possible, puisque b ne serait pas constant.
Rappelez-vous que a et b désignent dans ce théorème deux nombres réels FIXES.

Ensuite, pour comprendre la solution proposée par le corriger, vous devez comprendre que la résolution de (E) se fait en 4 étapes :

1) On vérifie que u est une solution PARTICULIERE de (E) ;

2) on résout l'équation (E'), dite sans second membre
(en utilisant cette fois-ci le théorème donnant les solutions de y ' = ay+b puisque a et b sont ici bien constants) ;

3) on montre l'équivalence : v solution de (E) équivaut à (v-u) solution de (E')

4) d'après la question 3), LES solutions de (E) s'obtiennent en ajoutant AUX solutions de (E') LA solution particulière de (E) obtenue en 1).

Bonne continuation.

merci pour votre réponse!

Bonne continuation.