équations différentielles

[manon]

Bonjour, j'essaie de faire des annales et il y a un exo sur les équa diff dont je ne comprends pas la correction. Pouvez vous m'expliquer s'il vous plait.
Voici l'énoncé: on considère l'équation diff: (E): y' + y = e(−x)
1/ Montrer que la fonction u défnie sur R par u(x)=xe(−x) est solution de l'équation diff (E)
Cette question c'est bon.
2/ On considère l'équa diff (E') : y' + y = 0. Résoudre l'équation diff (E') (j'ai aussi réussi a le faire)
3/ Soit v une fonction définie et dérivable sur R. Montrer que la fonction v est sol de l'équation différentielle (E) si et seulement si la fonction v-u est solution de (E'). (c'est bon aussi, c'est la question suivante que je ne comprends pas)
4/ En déduire toutes les solutions de l'équa différentielle (E)
a cette question je voulais dire que y'=e(-x)-y donc les solutions sont de la forme Ce(ax) -b/a <=> Ce(-x) + e(-x) mais dans la correctiob ils proposent: d'après la question 2, v-u est solution de l'équation différentielle (E') si et seulement si il existe un réel C tel que, pour tout réel x, (v-u)(x)=Ce(-x) <=> v(x)=Ce(-x)+u(x) <=> v(x)= (C+x)e(-x). Les solutions de (E) sont les fonctions v définies sur R par v(x)=(x+C)e(-x).
Pouvez vous me dire pourquoi ma démarche est fausse et pourquoi ils font comme ça, je ne comprends pas... Merci beaucoup

[sos-math(22)]

Bonsoir,

Tout d'abord, votre démarche est fausse, car vous ne pouvez pas appliquer ici le théorème permettant de résoudre
l'équation différentielle y ' = ay+b à l'équation (E) : y ' = -y + exp(-x).

En effet, il faudrait identifier b à exp(-x), ce qui n'est pas possible, puisque b ne serait pas constant.
Rappelez-vous que a et b désignent dans ce théorème deux nombres réels FIXES.

Ensuite, pour comprendre la solution proposée par le corriger, vous devez comprendre que la résolution de (E) se fait en 4 étapes :

1) On vérifie que u est une solution PARTICULIERE de (E) ;

2) on résout l'équation (E'), dite sans second membre
(en utilisant cette fois-ci le théorème donnant les solutions de y ' = ay+b puisque a et b sont ici bien constants) ;

3) on montre l'équivalence : v solution de (E) équivaut à (v-u) solution de (E')

4) d'après la question 3), LES solutions de (E) s'obtiennent en ajoutant AUX solutions de (E') LA solution particulière de (E) obtenue en 1).

Bonne continuation.

[manon]

merci pour votre réponse!

[sos-math(22)]

Bonne continuation.