SOS-MATH

Bonjour,

Voila, je voulais avoir une correction de mon raisonnement :

Sujet : http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/Ameriq ... li2005.pdf
Corrigé : http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/Corrig ... in2005.pdf

Pour répondre à la question 3 de l'exercice 1 puis-je raisonner comme ceci :

(Avec A d'affixe 4i et B d'affixe -2)
z' réel <=> arg(z') = arg[(z −4i) / (z +2)] = k∏ <=> (MB ; MA) = k∏ <=> M, B, A sont alignés donc M appartient à (BA)
Donc l'ensemble des points M d'affixe z tel que |z'| = 1 est une droite privée d'un point.

Est-ce correct ?
Sinon si vous pouviez me donner la marche à suivre.

Merci

Bonsoir,

Oui, votre démarche est correcte, mais quelques modifications doivent être apportées cependant :

Soient A d'affixe 4i et B d'affixe -2.

Pour z distinct de -2 et de 4i on a :

z' réel <=> arg(z') = arg[(z −4i) / (z +2)] = k∏ avec k entier relatif

<=> (MB ; MA) = k∏ (avec k dans Z)

<=> M, B, A sont alignés

<=> M appartient à (BA)


Conclusion : l'ensemble des points M d'affixe z tel que z' est réel est la droite (AB) privée du point B.


Attention à la fin à ne pas confondre avec l'autre question : module de z ' =1.


Remarque : il faut retirer a priori deux points : les points A et B.
Mais a posteriori on ne retire que le point B.

Bonne continuation.

Bonjour,

Ok, merci bien, oui en effet j'ai fait une erreur d'étourdissement excusez-moi.
Mais quand on dit : " est la droite (AB) privée du point B " comment le sait-on au fond ? Moi je le sais parce que c'est marqué dans ma cours, mais de façon "pratique" comment le montrer/dé-montrer ?

Merci bien.

Bonjour,

Ouf... une erreur "d'étourdissement"...
C'est pas trop grave j'espère... ;-)

Bon alors, on écarte -2, car évidemment on ne peut pas diviser par 0 ; on écarte également 4i, mais pour une autre raison.

Parce que, d'une manière générale, arg(z') est défini pour z' différent de 0.

On doit donc supposer z distinct de 4i pour pouvoir considérer les arguments.

Mais une fois terminé, on se rappelle que si z=4i, z'=0 qui est évidemment un nombre réel.

z=4i doit donc être "réintégré" dans l'ensemble des solutions.

Avez-vous compris ?

Bonne continuation.

Re-bonjour

Mdr, je savais pas comment dire, faute de frappe disons :-D

J'ai compris le raisonnement sur 4i, mais pas ceci :
" Bon alors, on écarte -2, car évidemment on ne peut pas diviser par 0 " à quel moment divise t-on par 0 ? Si vous pouviez développer :-D

Donc en fait on écarte le point tel que z' n'est pas réelle c'est ça ?

Merci
Simon.

Re-bonjour

Mdr, je savais pas comment dire, faute de frappe disons :-D

J'ai compris le raisonnement sur 4i, mais pas ceci :
" Bon alors, on écarte -2, car évidemment on ne peut pas diviser par 0 " à quel moment divise t-on par 0 ? Si vous pouviez développer :-D

Donc en fait on écarte le point tel que z' n'est pas réelle c'est ça ?

Merci
Simon.

(Ce sera peut être en doublon car le net à bug quand j'ai posté la réponse)

On a : z'=\(\frac{z-4i}{z+2}\).

Ce quotient est défini pour tout nombre complexe z, sauf pour z=-2.

Car pour z=-2 on a z+2=0 et évidemment, le dénominateur ne peut pas prendre la valeur 0.

D'autre part, on remarque que : z'=0 <=> z-4i=0 <=> z=4i.

On traite z=4i à part car, arg(z') n'est pas défini si z'=0.

Avez-vous compris ?

Bonne continuation.

Je pense que oui, je vais encore m'entrainer et si vous connaissez des sujets intéressant fait le moi savoir.

Merci bien
Simon.

Bonjour,

En fait, toutes ces questions se ressemblent beaucoup... Je vous conseille de les refaire une fois ou deux sans regarder la correction.

Vous pouvez même modifier vous-même l'énoncé !

Vous pouvez par exemple poser arbitrairement z'=\(\frac{z+2i}{z-3}\).

Et si vous êtes à l'aise, vous pouvez même traiter la question de manière générale en posant : \(\frac{z-z_1}{z-z_0\).

Faites bien attention à ne pas confondre :

1) z' réel ;
2) z' imaginaire pur ;
3) |z'|=1.

Faites bien attention également à bien rédiger en excluant au préalable \(z_0\) et \(z_1\), puis en réintégrant \(z_1\) pour les réponses aux questions 1) et 2).

Bonne continuation.