suite numérique

[tiphaine]

Bonjours petit soucis avec mon exercice:
1
U désigne la suite de terme général Un défini pour tout entier naturel non nul par un=Fx(^n)ln(1+x)dx
0
on me demande de démontrer que 0< Un < (ln(2)/n+1)

Merci de votre aide

[sos-math(22)]

Bonsoir,
Je ne suis pas sûr de bien comprendre la définition de \(u_n\).
A-t-on \(u_n=\int_{0}^{1}x^nln(1+x)dx\) ?
Merci.

[tiphaine]

Bonjous,
oui c'est bien ça desoler je ne sait pas comment on fait pour bien l'écrire.

[sos-math(22)]

Bonjour,
Dans ce cas, je vous conseille de faire une intégration par parties en posant :
\(u\) ' \((x)=x^n\) et \(v(x)=ln(1+x)\).
Bonne continuation.

[tiphaine]

Bonjours,
je ne vois pas ce qu'est u'(x)=x^n et v(x)=ln(1+x)

[tiphaine]

j'ai fais
F U'(x)V(x) dx
F U(x)V'(x) dx
[x^nln(1+x)]-f x^n ln (1+x)dx
et a partir de la je bloque
(désoler je ne sais pas comment on fait pour bien marques je ne trouve pas de logiciel)

[sos-math(22)]

Bonjour,

On pose :
u'(x)=x^n et v(x)=ln(1+x)

On a donc :
u(x)=\(\frac{x^{n+1}}{n+1}\) et v'(x)=\(\frac{1}{1+x}\).

D'où :
\(u_n=\int_{0}^{1}u\)'\((x)v(x)dx=\int_{0}^{1}x^nln(1+x)dx=...\)

Pour terminer, si tu ne sais pas faire, il faut te rapporter à ton cours ou au livre.

Bon courage.

[tiphaine]

Bonjours
Justement je trouve aucun exercice comme ca dans mes cours,
alors je regarde sur internet mais c'est mal expliquer (enfin il mette les résultats mais pas le raisonement)
ce que j'ai fais est juste pour le moment?

[sos-math(22)]

Non, ce que vous avez fait ne me semble pas juste. Il vous faut regarder dans votre cours ou dans votre livre, trouver la formule d'intégration par parties et l'appliquer. Mon rôle n'est pas de faire l'exercice à votre place, mais bien de vous aider à le faire. Bonne continuation.

[tiphaine]

oui j'ai vu que c'étais faut
Merci

[sos-math(22)]

Bonne continuation.

[tiphaine]

Bonjours,

Voilà ce que j'ai fait
Si 0<x<1 alors 1<x+1<2 et ln(1)<ln(1+x)<ln(2)
Soit 0<ln(1+x)ln(2)
d'où f2^n.0 dx< fx^n.ln(1+x)dx< fx^n.ln(2)dx
alors 0< fx^n.ln(1+x)dx<ln(2)fx^n dx
donc fx^n dx=[(x^(n+1))/(n+1)] =(1)/(n+1)
D'où 0<Un<(ln(2))/(n+1))
Est juste?
Cordialement

[sos-math(22)]

Bonjour,

Oui, c'est très bien. Vous pouviez aussi faire une intégration par parties, mais votre méthode est très bonne, à condition de bien justifier chaque étape.

Je complète par ce qui manque :

Si 0<x<1 alors 1<x+1<2

Donc ln(1)<ln(1+x)<ln(2) car la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +oo[

Soit 0<ln(1+x)<ln(2)

d'où fx^n.0 dx< fx^n.ln(1+x)dx< fx^n.ln(2)dx CAR x^n>0

alors 0< fx^n.ln(1+x)dx<ln(2)fx^n dx CAR l'intégrale conserve l'ordre des éléments

OR fx^n dx=[(x^(n+1))/(n+1)] =(1)/(n+1)

D'où 0<Un<(ln(2))/(n+1))

Bonne continuation.

[tiphaine]

On me demande d'en déduire que la suite U est convergente et donner sa limite.
Comment dois-je faire, car je n'ai jamais eu de cours sur les limites, nous n'avons pas eu le temps de les travailler.
Merci
cordialement

[sos-math(22)]

Bonsoir,

Il faut en fait utiliser le théorème dit "des gendarmes" :

La suite \((u_n)\) est encadrée par la suite constante et égale à 0 et par une autre suite : \(v_n=\frac{ln2}{n+1}\).

Or, comme \(lim v_n=0\), d'après le théorème des gendarmes, on peut en déduire que \((u_n)\) converge ainsi que sa limite \(\ell\).

Bonne continuation.