Bonjour,
Je voulais juste avoir une validation d'un raisonnement.
Dans ce sujet http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/Pondic ... il2008.pdf , exercice 4 partie B question 1.a , est ce que cette méthode est bonne :
On a l'expression z = 1/y
On sait donc que y = 1/z . On dérive y <=> y' = -z'/z² on le calcul en remplaçant z' par la valeur donné dans l'énoncé. et obtient y' = [(1/2z) - (1/20z²)]
Ensuite on remplace y par (1/z) dans l'expression de y' donné dans le sujet, et on obtient [(1/2z) - (1/20z²)]
On fait de même pour z (on calcul z', et on remplace ensuite).
Est-ce un bon raisonnement pour démontre que y est solution de E <=> z est solution de E1 ?
Merci beaucoup.
Equa Diff
-
sos-math(21)
- Messages : 10401
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Equa Diff
Bonjour,
Tu pars de l'équation \(y^{,}=\frac{1}{20}y(10-y)\)
On pose \(z=\frac{1}{y}\), qu'on peut transposer en \(y=\frac{1}{z}\) et la dérivée donne bien \(\frac{-z^{,}}{z^2}\) et là il suffit de remplacer les y et y' par leur expression en fonction de z :
\(\frac{-z^{,}}{z^2}=\frac{1}{20}\frac{1}{z}\left(10-\frac{1}{z}\right)\) soit en multipliant par \(z^2\), on a
\({-}z^{,}=\frac{z}{20}\left(10-\frac{1}{z}\right)\)
Ensuite en développant et en multipliant par -1, on retombe bien sur E1. Est-ce cela que tu as fait ? Je n'ai pas vraiment compris la fin de tes explications...
Tu pars de l'équation \(y^{,}=\frac{1}{20}y(10-y)\)
On pose \(z=\frac{1}{y}\), qu'on peut transposer en \(y=\frac{1}{z}\) et la dérivée donne bien \(\frac{-z^{,}}{z^2}\) et là il suffit de remplacer les y et y' par leur expression en fonction de z :
\(\frac{-z^{,}}{z^2}=\frac{1}{20}\frac{1}{z}\left(10-\frac{1}{z}\right)\) soit en multipliant par \(z^2\), on a
\({-}z^{,}=\frac{z}{20}\left(10-\frac{1}{z}\right)\)
Ensuite en développant et en multipliant par -1, on retombe bien sur E1. Est-ce cela que tu as fait ? Je n'ai pas vraiment compris la fin de tes explications...
-
Simon
Re: Equa Diff
Ok, je vais regarder, ça merci bien.
Mais donc pour répondre à la question, il faut montrer que en remplaçant y et y' par leur expression en fonction de z dans E on obtient E1 ? Montrer le lien entre E et E1 ?
C'est toujours pareil dans les exercices d'équations différentielle de ce type ?
Est ce que vous auriez une méthode à appliquer dans ce genre d'exercices, et est-ce que vous connaitriez des sujet de bac qui en comporte, parce que j'en trouve pas des masse.
Merci beaucoup
Cordialement,
Simon.
Mais donc pour répondre à la question, il faut montrer que en remplaçant y et y' par leur expression en fonction de z dans E on obtient E1 ? Montrer le lien entre E et E1 ?
C'est toujours pareil dans les exercices d'équations différentielle de ce type ?
Est ce que vous auriez une méthode à appliquer dans ce genre d'exercices, et est-ce que vous connaitriez des sujet de bac qui en comporte, parce que j'en trouve pas des masse.
Merci beaucoup
Cordialement,
Simon.
-
sos-math(21)
- Messages : 10401
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Equa Diff
Je ne peux pas te répondre sur des sujets identiques qui contiendraient des équadiff de ce type : j'enseigne au collège et ce n'est pas la vocation du forum.
Ce genre de technique s'appelle un changement de variable : il permet de transformer une équadiff compliquée (genre pas linéaire) en une équation facile, résolvable par un terminale (genre linéaire y'=ay+b). Résoudre E en y revient à résoudre E1 en z.
La méthode est, il me semble, toujours proposée dans l'exercice, c'est-à-dire que tu n'auras pas à y penser toi-même tout seul, en tout cas pas en terminale.
Il s'agit d'en avoir fait une ou deux de ce type pour bien saisir les rouages d'un tel exercice.
Ce genre de technique s'appelle un changement de variable : il permet de transformer une équadiff compliquée (genre pas linéaire) en une équation facile, résolvable par un terminale (genre linéaire y'=ay+b). Résoudre E en y revient à résoudre E1 en z.
La méthode est, il me semble, toujours proposée dans l'exercice, c'est-à-dire que tu n'auras pas à y penser toi-même tout seul, en tout cas pas en terminale.
Il s'agit d'en avoir fait une ou deux de ce type pour bien saisir les rouages d'un tel exercice.
-
Simon
Re: Equa Diff
Re-bonjour,
Merci bien
Simon.
Qu’entendez-vous par ceci ?Résoudre E en y revient à résoudre E1 en z.
C'est a dire ? Dans cet exercice par exemple ?La méthode est, il me semble, toujours proposée dans l'exercice,
Merci bien
Simon.
-
sos-math(21)
- Messages : 10401
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Equa Diff
Bonjour,
Le changement de variable permet de simplifier une résolution en substituant à une équation une équation plus simple.
Une fois que tu as résolu l'équation E1 tu as les solutions en z, par exemple f(x). Tu obtiens les solutions de E en prenant y=1/z=1/f(x).
Pour la démarche, dans cet exercice, c'est proposé, c'est-à-dire que l'on te dit "en posant z=1/y", vérifier que .... Il te reste à établir la deuxième équation, à la résoudre et à revenir à la première équation.
Voilà pour quelques précisions
Le changement de variable permet de simplifier une résolution en substituant à une équation une équation plus simple.
Une fois que tu as résolu l'équation E1 tu as les solutions en z, par exemple f(x). Tu obtiens les solutions de E en prenant y=1/z=1/f(x).
Pour la démarche, dans cet exercice, c'est proposé, c'est-à-dire que l'on te dit "en posant z=1/y", vérifier que .... Il te reste à établir la deuxième équation, à la résoudre et à revenir à la première équation.
Voilà pour quelques précisions
-
Simon
Re: Equa Diff
Merci : D