SOS-MATH

Bonjour

Quand on demande de démontrer ceci par récurrence : 0 ≤ Un ≤ Un+1 ≤ 10 et que Un+1 est définie par Un+1 = f(Un) sachant que f est croissante sur [0, 10], pour démontrer la propriété d’hérédité peut on faire :
" Sachant que Un+1 = f(Un) et que f est croissante, f(0) ≤ f(Un) ≤ f(Un+1) ≤ f(10) <=> 0 ≤ Un+1 ≤ Un+2 ≤ 10 " (Et f(0) = 0 et f(10) = 10).

Est ce que cela marche dans tout les cas similaire ?

Merci beaucoup

Bonjour Simon,

Ce que tu as écrit est bon. Cependant pour la présentation il est préférable de donner un argument au moment où tu l'utilises.

On a par hypothèse de récurrence au rang n : 0 ≤ Un ≤ Un+1 ≤ 10
Or f est croissante sur [0;10], donc f(0) ≤ f(Un) ≤ f(Un+1) ≤ f(10)
Or Un+1 = f(Un), f(0) = 0 et f(10) = 10, donc 0 ≤ Un+1 ≤ Un+2 ≤ 10.
Donc la propriété est vrai au rang n+1.

SoSMath.

Ok, merci bien.