SOS-MATH

Bonjour, j'ai la correction d'un exercice mais je ne la comprends pas à un moment. Pouvez vous m'aider s'il vous plait.
Voici l'énoncé: soit le nombre complexe z=1-i√3
Proposition: si l'entier naturel n est un multiple de 3 alors z puissance n est un réel.
Je comprends la démarche à éffectuer jusqu'a ce qu'il y est écrit: (8e^(-iπ))puissance k = (-8)puissance k.
je ne comprends pas pourquoi (8e^(-iπ)) = (-8). Merci pour vos réponses

Bonjour Manon,

Je crois que tu as confondu \(n\) et \(k\).

En fait, supposons que \(n\) soit un multiple de 3.

Dans ce cas, on a \(n=3 \times k\) avec \(k\) entier naturel.

Or on a : \(1-i\sqrt{3}=2e^{-i\frac{\pi }{3}}\) (à détailler).

Donc : \((1-i\sqrt{3})^n=(2e^{-i\frac{\pi }{3}})^n=2^ne^{-in\frac{\pi }{3}}=2^{3k}e^{-i3k\frac{\pi }{3}}\)

D'où : \((1-i\sqrt{3})^n=8^ke^{-ik\pi}\)

Enfin, \(e^{-ik\pi}=(-1)^k\) ; c'est-à-dire égal \(1\) si \(k\) est pair et \(-1\) si \(k\) est impair. Penser ici au cercle trigonométrique. En effet, on fait, dans le sens inverse du sens trigonométrique, \(k\) demi-tours.

Finalement, \((1-i\sqrt{3})^n=8^k \times (-1)^k=(-8)^k\)

Bonne continuation.

merci pour votre réponse mais je suis désolée, mais je ne comprends pas pourquoi e^(-ikπ) = (-1)^k, je vois que k est impair mais je ne vois pas pourquoi on peut on déduire cette égalité...

bonjour,

e^(ipi)= cos(pi)+isin(pi)=-1+0.i=-1

sosmaths

Rebonjour,

Attention \(k\) n'est pas toujours impair.

Il y a deux cas à envisager :

1) si k est pair alors \(e^{-ik\pi}=1\) ;
2) si k est impair alors \(e^{-ik\pi}=-1\).

Pour comprendre cela vous pouvez :

- utiliser la formule \(e^{ix}=cos(x)+isin(x)\), ou bien,

- tracer un cercle trigonométrique et représenter les nombres complexes de module 1 et d'arguments \(-\)\(k\pi\) en considérant les deux cas : \(k\) pair ou impair.

Bonne continuation.