Suites Numériques

[Marine]

Bonjours,
J'ai fais un contrôle de maths la semaine dernière, j'ai un exercice que je n'ai pas compris, le proffesseur la corrigé mais j'étais absente, alors pas de correction et j'aurai voulu comprendre mes erreures vu que le Bac arrive a grand pas.
L'exercice et le suivant:

Soit la suite (Un) définie par :
U0=0
Un+1= (2Un+3)/(Un+4), Pour tout n dans IN

1) Montrer par récurrence que pour tout n appartient à IN 0<Un<1 et que la suite est croissante.


2) Soit la suite (Vn) définie pour tout n de IN par :
Vn= (Un-1)/(Un+3)
Montrer que Vn est une suite géométrique convergente.

4) Calculez Un en fonction de n

5) En déduire que Un converge et calculer sa limite.

Merci pour votre aide.

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
sur ce forum, nous ne donnons pas de corrigé de problèmes.
Puisque votre professeur a fait un corrigé demandez-le à vos camarades.
Si vous essayez de refaire ce DS, nous pouvons vous aider au fur et à mesure.
A vos crayons et dites nous où vous coincez
Bon courage

[marine]

D’accord désoler.
Auriez vous des exemples assez similaires a mes exercices, pour m'expliquer comment montrer que la suite est géométrique convergente?
Merci de votre aides et encore désoler

[SoS-Math(1)]

Bonjour Marine,

Non, c'est le même principe: ce n'est pas à moi de vous donner du travail.

On répond ici sur des exercices précis que vous essayez de faire et on vous débloquera éventuellement sur telle ou telle question.

À bientôt.

[marine]

ok je vais me débrouiller alors
Merci

[sos-math(20)]

Bon courage et à bientôt sur SOS-math.

[Matthieu]

Bonjour,
Je m'entrainne pour le BAC et je bloque sur la 2ème questions.
Soit la suite (Un) définie par :
U0=0
Un+1= (2Un+3)/(Un+4), Pour tout n dans IN

1) Montrer par récurrence que pour tout n appartient à IN 0<Un<1 et que la suite est croissante.
j'ai fait: si Un>0 alors U(n+1)>0 car les deux termes (2Un+3)et(Un+4) sont positifs.
si Un<1
U(n+1)=(2Un+3)/(Un+4)=(2Un+8-5)/(Un+4)=2-5/(Un+4)
comme Un<1 alors 5/(Un+4)>1 et donc
U(n+1)<1
Es juste et complét ?

2) Soit la suite (Vn) définie pour tout n de IN par :
Vn= (Un-1)/(Un+3)
Montrer que Vn est une suite géométrique convergente.

[sos-math(21)]

Bonjour,
il faut bien poser les choses : Montrons par récurrence la propriété "\(P_n\,: \, 0<u_n<1\)"
Initialisation : \(u_0=0\) donc déjà cela ne marche pas, car 0>0 est faux : est-ce bien le signe inférieur strict ou le signe inférieur ou égal.
Hérédité : Soit un entier naturel \(n\) ; supposons que \(P_n\) soit vraie et montrons que \(P_{n+1}\) est vraie :
Comme \(u_n>0\), on a bien \(u_{n+1}=\frac{2u_n+3}{u_n+4}>0\), comme quotient de deux nombres strctement positifs.
Ensuite pour \(u_{n+1}<1\), on peut calculer la différence \(u_{n+1}-1=\frac{2u_n+3}{u_n+4}-1=\frac{2u_n+3-u_n-4}{u_n+4}=\frac{u_n-1}{u_n+4}\)
et par hypothèse de récurrence, le numérateur est négatif, le dénominateur est positif, donc le quotient est négatif, donc la différence est négative et on a bien \(u_{n+1}<1\) donc la propriété est vraie au rang \(n+1\).
Et on conclut par récurrence (ta démarche est tout de même correcte mais il faut détailler la rédaction).
Reprends cela
Bon courage

[matthieu]

Je ne comprend pas trop ce qu'il faut marquer du coup
Désoler j'ai un peu de mal avec les suites.

[sos-math(21)]

Tu peux garder ta démonstration mais respecte surtout la rédaction :
structure pour la récurrence :
- n=0... ;
- soit n un entier, supposons que la propriété soit vraie au rang et montrons qu'elle est vraie au rang n+1
....

donc par récurrence, pour tout entier n, la propriété est vraie.

Si tu as du mal, reprends un exemple rédigé par ton professeur en cours.

[matthieu]

Justement je ne trouve pas d'exercice de ce type rédiger.
je pense chercher sur internet mais ici c'est pareil.
Alors je vais essayer on verra bien
merci quand même

[sos-math(21)]

Je te donne la rédaction que je proposerais à des terminales
Montrons par récurrence la propriété "\(P_n\,: \, 0\leq\,u_n<1\)"
- initialisation : \(u_0=0\) et \(0\leq\,0<1\) donc \(P_0\) est vraie ;
- hérédité : soit ensuite un entier naturel n ; supposons que \(P_n\) soit vraie et montrons que \(P_{n+1}\)est vraie :
Comme \(u_n\geq\,0\), on a bien \(u_{n+1}=\frac{2u_n+3}{u_n+4}\geq\,0\), comme quotient de deux nombres >0.
Ensuite pour \(u_{n+1}<1\), formons la différence \(u_{n+1}-1=\frac{2u_n+3}{u_n+4}-1=\frac{2u_n+3-u_n-4}{u_n+4}=\frac{u_n-1}{u_n+4}\)
Par hypothèse de récurrence, le numérateur est négatif, le dénominateur est positif, donc le quotient est négatif, donc la différence est négative et on a bien \(u_{n+1}<1\) donc la propriété est vraie au rang n+1.

Par récurrence on conclut : Pour tout \(n\in\mathbb{N},\,P_n\) est vraie.

Voilà une rédaction acceptable d'une démonstration par récurrence

[Matthieu]

Ah oui en faite moi j'avais juste fais le raisonnement.
Maintenant je comprend mieux.
Comment fait-on pour montrer qu'une suites est géometrique convergente, car je l'ai jamais fais?
Je sais que c'est soit par la limites, mais vu qu'on me demande de la calculer dans une autre question j'en déduit qu'il y a une autre solution?

[sos-math(21)]

Pour montrer qu'une suite est géométrique il faut trouver un nombre \(q\) tel que pour tout entier n, on ait \(u_{n+1}=q\times\,u_n\)
Pour le cas ici,je partirais de \(V_{n+1}=\frac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+3}=\frac{\frac{2u_n+3}{u_n+4}-1}{\frac{2u_n+3}{u_n+4}+3}\), je mettrais tout au même dénominateur et je simplifierais et je tacherais de faire apparaître un coefficient en facteur devant \(V_n\).
On doit trouver \(q=\frac{1}{5}\), ce qui prouve que la suite est géométrique de raison \(q=\frac{1}{5}\), ce qui prouve aussi qu'elle est convergente car la raison \(q=\frac{1}{5}\), est inférieure à 1 (c'est du cours)

[Matthieu]

J'ai fais:
Vn+1= ((2Un+3)/(Un+4)-1)/((2Un+3)/(Un+4)+3)
Vn+1= ((Un-1)/(Un+4))*((Un+4)/(5Un+15))
Vn+1= (Un-1)/5Un+5
Vn+1=((Un-1)/(Un+3))*(1/5)
Vn+1=Vn*(1/5)
je trouve bien (1/5)
Donc la suite (Vn) est bien suite géométrique de raison, q=(1/5).
Et elle est bien convergente car (1/5)<1