SOS-MATH

Bonsoir,
soit la suite (Un) définie par Un = n^2 - 5n et étudions ses variations.
Première méthode : U(n+1) - U(n) = 2n - 4 donc la suite U est croissante à partir du rang 2
Deuxième méthode : soit f la fonction définie sur les réels positifs par f(x) = x^2 - 5 x
alors U a les mêmes variations que f.
f'(x) = 2x - 5 donc f est croissante sur [5/2 ; +inf] et donc U est croissante à partir du rang 3.

QUESTIONS :
1) pourquoi ne trouve-t-on pas les mêmes résultats suivant les méthodes.
2) peut-on écrire que la suite U est croissante sur [2 ; +inf] et décroissante sur [0 ; 2] ou est-ce incorrect ?

Bonjour CIRDEC,

Oui, tes deux méthodes sont justes et correctement appliquées.

Rassure-toi, la contradiction n'est qu'apparente !

En ce qui concerne la première méthode, on raisonne par équivalence :
\(u_{n+1}-u_n\geq0\) équivaut à \(n\geq2\).

Mais dans la seconde méthode, il s'agit seulement d'une implication :

si \(f\) est croissante sur l'intervalle [\(n_0\) ; \(+\infty\)[ alors la suite (\(u_n\)) est croissante à partir de \(n_0\) .

Pour ton exemple, tu as bien démontré (avec la seconde méthode) que (\(u_n\)) est croissante à partir de \(n_0=3\) ; ce qui ne signifie pas que \(n_0=3\) est le plus petit entier pour lequel la suite est croissante à partir de \(n_0\).

D'ailleurs, nous pouvons vérifier dans un second temps que \(u_2=f(2)=u_3=f(3)=-6\) ; et donc que la suite est croissante (au sens large) dès \(n_0=2\) .

Pour la seconde question, note que l'on définit le sens de variation d'une suite à partir d'un certain rang et non pas sur un intervalle (car on ne considère que les nombres entiers naturels).

Bonne continuation.

Bonjour,
merci beaucoup,
tout est clair pour la croissance de U.
peut-on quand même dire que la suite U est décroissante du rang 0 au rang 2 (ou 3) ?
Cordialement,
Cédric

Bonjour,
Oui, si tu écris cela je ne pense pas que l'on te dira que c'est faux...
Cependant, peut-être est-il préférable de dire que les trois (ou quatre) premiers termes de la suite sont rangés par ordre décroissants et de préciser que :
\(u_0\geq u_1\geq u_2\geq u_3\)
Bonne continuation.