SOS-MATH

Bonjour,
J'ai un exercice qui me pose quelques problemes.
Voici l'énoncé:
Un eleve debute un jeu dans lequel il a autant de chance de gagner ou perdre dans la premiere partie.
On admet que lorsqu il gagne une partie, la probabilite qu il gagne la suivante est de 0.6; alors que s il perd, la probabilite qu il perde la suivante est de 0.7.
Pour n entier naturel non nul on note:
Gn l eleve gagne la n ieme partie
Pn l eleve perd la n ieme partie
1) Calculer G1 et P1
2)Calculer G2 et P2
On note pour tout n non nul,
xn=P(Gn) et yn= P(Pn)
3) Demontrer que pour tout n non nul on a:
xn+1= 0.6xn+0.3yn
yn+1=0/.4xn+0.7yn
4) On pose vn= xn+yn et wn=4xn -3yn
a) Demontrer que vn est constante
b) prouver que wn est geometrique et exprimer wn en fonction de n
c) Determiner pour tout n non nul; l'expression de xn en fonction de n.
Etudier la convergence de (xn).
Voici ce que je trouve:
1) P(G1)=1/2 et P(P1)=1/2
P(G2)=9/20 et P(P2)=11/20 de plus 9+11=20 et 20/20=1 ce qui confirme nos resultats.
Pour la 3 je ne sasi pas s'il faut simplement s'aider du texte ou faire des calculs ??
4)a) pas de probleme
b) wn est geometrique de raison 10/3
c) Je bloque aussi .
Merci de votre aide
Joe

Bonsoir,
Pour les expressions par récurrence, il faut raisonner sur le cas précédent.
\(x_{n+1}\) mesure la probabilité de gagner au rang n+1. Au rang n soit il a gagné soit il a perdu :
\(G_{n+1}=G_{n+1}\cap(G_n\cup P_n)=(G_{n+1}\cap G_n)\cup (G_{n+1}\cap P_n)\) soit en passant aux probabilités sachant que les événements sont incompatibles :
\(P(G_{n+1})=P(G_{n+1}\cap G_n)+P(G_{n+1}\cap P_n)\) soit en utilisant les probas conditionnelles :
\(P(G_{n+1})=P(G_n)\times\,P_{G_n}(G_{n+1})+P(P_n)\times\,P_{P_n}(G_{n+1})\) d'après les données du texte, on a :
\(P(G_{n+1})=x_n\times0,6+y_n\times0,3\) et on refait de même pour l'autre relation.
Une fois qu'on a (wn) et (vn) en fonction de n, on reprend les deux expressions et on exprime xn en fonction de wn et de vn et on aura l'expression en fonction de n.

Bonsoir,
Merci de votre aide, je trouve que (xn) converge vers o .
Est ce juste ?

Bonjour,
Oui j'avais oublier de vous le dire pour la raison.
Merci de votre aide
Joe

Bon courage,
A bientôt sur sos-math