SOS-MATH

Bonjour, J'aurais besoin d'aide pour un exercice de maths s'il vous plait, voici l'énoncé:

Soit n>2 et p tel que 0<p<1. On pose q = 1-p. Soit X=B(n,p), c'est-à-dire que P(X=k)=( n k)p^k*q^(n-k) pour 0<k<n. On rapelle que si (a,b)², (a+b)^n=(n k)a^k*b^(n-k). Soit f(x)=(px+q)^n
1°)Montrer que X est bien une variable aléatoire, c'est-à-dire que la somme des probabilités des événements élémentaires est égale à 1.
2°)Développer f(x) à l'aide de la formule du binôme.
3°)En déduire 2 expressions de f'(x), obtenues en décrivant chacune des 2 expressions de f(x).
4°)En utilisant une des 2 expressions de f'(x), montrer que E(X)= f'(1) puis à l'aide de l'autre expression, que E(x)=np.
5°) On rapelle que V(X)=E(X²)-E(X)². En calculant f''(x) de 2 manières différentes , montrer que E(X²)=sommek(k-1)P(X=k)+ somme kP(X=k) et E(X²)= f''(1)+ np
6°)En déduire que V(X)= npq

Je ne comprends absolument pas comment faire cette exercice si quelqu'un aurait la gentillesse de m'aider!
Merci d'avance de votre aide !

Bonsoir,
On effectue la somme \(\Sigma_{k=0}^{n}P(X=k)=\Sigma_{k=0}^{n}{n\choose k}p^k q^{n-k}\) on reconnaît la formule du binôme de Newton donnant le développement de \((p+q)^n\)
Or p+q=1 donc on a bien 1 à la fin.
On reprend la formule du binôme de Newton pour la suite \((px+q)^n=\Sigma_{k=0}^{n}{n\choose k}(px)^k q^{n-k}\).
Voilà pour le début...

après les 2 expressions de f'(x), j'ai trouvé: f'(x)=n(px+q)^(n-1)et en posant x=1, on obtient:f'(x)= n*1^(n-1) , est-ce bon ?Mais après je ne comprends pas les 3 dernières questions.

Bonsoir,
si tu dérives \(f(x)=(px+q)^n\), tu auras \(f^{,}(x)=np(px+q)^{n-1}\), ce qui en 1 vaut \(f^{,}(x)=np(p+q)^{n-1}\), et comme p+q=1, on a bien \(f^{,}(1)=np\)
Par ailleurs en dérivant la somme on a \(f^{,}(x)=(\Sigma_{k=0}^{n}P(X=k))^{,}=\Sigma_{k=1}^{n}{n\choose k}kp(px)^{k-1} q^{n-k}\) soit en prenant x=1,
on a \(f^{,}(1)=\Sigma_{k=1}^{n}{n\choose k}kp(p)^{k-1} q^{n-k}=\Sigma_{k=1}^{n}k\times{n\choose k}(p)^{k} q^{n-k}=\Sigma_{k=0}^{n}k\times{n\choose k}(p)^{k} q^{n-k}=\Sigma_{k=0}^{n}kP(X=k)\), ce qui n'est autre que E(X) donc E(X)=f'(1)=np.
Pour la variance, il faut reprendre le problème en dérivant 2 fois, tu obtiens deux expressions, une qui vaudra npq en 1, l'autre qui vaudra \(E(X^2)-E(X)^2\) et on y reconnaitra la variance...

je ne comprends pas ce que vous avez fait à la fin, je n'arrive pas à comprendre et désolé d'avoir mis beaucoup plus de temps à répondre.

Bonjour Rasha,

Qu'est-ce-que tu ne comprends pas ? Le calcul de f '(1) ?

Pour la question 5, il faut utiliser la même méthode que pour l'espérance, sauf que l'on va utiliser la dérivée seconde de f.
Peux-tu me donner les deux expressions de f ''(x) ?

SoSMath.

Bonjour,
Je comprends ce que vous avez fait pour monter que E(x)=np, \(f^{,}(1)=\Sigma_{k=1}^{n}{n\choose k}kp(p)^{k-1} q^{n-k}=\Sigma_{k=1}^{n}k\times{n\choose k}(p)^{k} q^{n-k}=\Sigma_{k=0}^{n}k\times{n\choose k}(p)^{k} q^{n-k}=\Sigma_{k=0}^{n}kP(X=k)=E(X)\) donc E(X)=f'(1)=np.
Mais je ne comprends pas comment faire les dérivés secondes et je ne vois pas comment montrer que\(E(X^{2})=\Sigma_{k=2}^{n} k(k-1) P(X=k)+\Sigma_{k=1}^{n}kP(X=k)=f^{,,}(1)+np\)

Bonsoir,
on reprend la démarche :
On a en dérivant f deux fois
\(f"(x)=\Sigma_{k=2}^{n}{n\choose k}k(k-1)p^2(px)^{k-2} q^{n-k}\)
soit en évaluant en 1 : \(f"(1)=\Sigma_{k=2}^{n}{n\choose k}k(k-1)p^2(p)^{k-2} q^{n-k}=\Sigma_{k=2}^{n}{n\choose k}(k^2-k)(p)^{k} q^{n-k}\)
donc \(f^{,,}(1)=\Sigma_{k=2}^{n}{n\choose k}k^2\,(p)^{k} q^{n-k}-\Sigma_{k=2}^{n}{n\choose k}k(p)^{k} q^{n-k}\), on peut y rajouter le terme \(npq^{n-1}\) qui est le terme de rang 1 dans les deux sommes on a donc (on peut alors faire partir la somme à 0) :
\(f^{,,}(1)=\Sigma_{k=0}^{n}{n\choose k}k^2\,(p)^{k} q^{n-k}-\Sigma_{k=0}^{n}{n\choose k}k(p)^{k} q^{n-k}=E(X^2)-E(X)\) or E(X)=np et par ailleurs on a
\(f^{,,}(1)=n(n-1)p^2\), en utilisant la dérivée seconde de \(f(x)=(px+q)^n\)
on a donc \(n(n-1)p^2=E(X^2)-E(X)\) donc \(E(X^2)=n(n-1)p^2+E(X)=n(n-1)p^2+np\) d'après la question précédente.
Comme la variance se définit par \(V(X)=E(X^2)-E(X)^2\), on a \(V(X)=n(n-1)p^2+np-(np)^2=n^2\,p^2-np^2+np-n^2\,p^2=-np^2+np=np(1-p)=npq\)

Bonjour,
Merci de votre aide, est-ce que vous pouvez m'expliquer ce qu'est la formule binomiale? Et la démonstration de l'espérance et la variance de la loi binomiale?

Bonjour,
Je crois avoir déjà répondu à ces questions dans mes messages précédents.
Derrière cela, il y a une loi de probabilité qui s'appelle la loi binômiale : la situation typique est celle d'une urne contenant une proportion de p boules blanches et une proportion q de boules noires. On effectue n tirages avec remise (indépendants et effectués dans les mêmes conditions) et on compte le nombres de boules blanches tirées au cours des n tirages, c'est ce que mesure la variable X de ton exercice.
L'espérance est alors vue comme une moyenne...