SOS-MATH

Bonjour,

J'ai un petit soucis sur un exercice de licence 1 en analyse élémentaire. Je le post ici comme il n'y a pas de rubrique pour la fac ici.
Si vous pouvez m'aider ce serait très sympatique.

Enoncé:
Soit f : R+ ==>> R dérivable et telle que:
(i) Pout tout x appartenant à R+, f'(x)>0
(ii) f' est strictement décroissante sur R+

a) Montrer que f'(x)<f(x)-f(x-1), pour tout x appartenant à [1, +00[.
b) En déduire que si f admet une limite finie en +00, alors la fonction f' admet elle aussi une limite en +00.

D'après un théorème on sait que toute fonction dérivable sur un intervalle et continue sur celui là.
Donc ici, nous avons f qui est continue sur R+ et donc sur [1, +00[.
Et d'après le théorème des accroissements finis, on a f continu sur [1, +00[ et dérivable sur ]1, +00[ donc il existe un x appartenant a ]1, +00[ tel que:
f(x)-f(x-1) > f'(x)(x-(x-1))
<=> f(x)-f(x-1)/(x-(x-1)) > f'(x)
<=> f(x)-f(x-1)/(1) > f'(x)
<=> f(x)-f(x-1) > f'(x)

J'aimerais savoir si c'est correcte, sinon avoir des éléments de correction pour essayer de voir comment je peux faire. Merci.

Bonsoir,
Dans l'ensemble cela me paraît correct mais il faut être vigilant sur la rédaction
Soit \(x\in]1,+\infty[\). La fonction f est continue sur \([x-1;x]\), dérivable sur \(]x-1;x[\) et du fait de la décroissance de f',
- \(\forall\,t\in]x-1;x[,f^{,}(x)<f^{,}(t)<f^{,}(x-1)\) donc à priori : \(\forall\,t\in]x-1;x[,f^{,}(t)>f^{,}(x)\), donc si on applique l'inégalité des accroissements finis à cette fonction entre x-1 et x, il vient :
\(f(x)-f(x-1)>f^{,}(x)[(x-(x-1)]\) et on retrouve bien l'inégalité demandée

Merci, sa ma beaucoup aider.