Fonction continu, dérivabilité

[Benjamin]

Bonjour,

J'ai un petit soucis sur un exercice de licence 1 en analyse élémentaire. Je le post ici comme il n'y a pas de rubrique pour la fac ici.
Si vous pouvez m'aider ce serait très sympatique.

Enoncé:
Soit f : R+ ==>> R dérivable et telle que:
(i) Pout tout x appartenant à R+, f'(x)>0
(ii) f' est strictement décroissante sur R+

a) Montrer que f'(x)<f(x)-f(x-1), pour tout x appartenant à [1, +00[.
b) En déduire que si f admet une limite finie en +00, alors la fonction f' admet elle aussi une limite en +00.

D'après un théorème on sait que toute fonction dérivable sur un intervalle et continue sur celui là.
Donc ici, nous avons f qui est continue sur R+ et donc sur [1, +00[.
Et d'après le théorème des accroissements finis, on a f continu sur [1, +00[ et dérivable sur ]1, +00[ donc il existe un x appartenant a ]1, +00[ tel que:
f(x)-f(x-1) > f'(x)(x-(x-1))
<=> f(x)-f(x-1)/(x-(x-1)) > f'(x)
<=> f(x)-f(x-1)/(1) > f'(x)
<=> f(x)-f(x-1) > f'(x)

J'aimerais savoir si c'est correcte, sinon avoir des éléments de correction pour essayer de voir comment je peux faire. Merci.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Dans l'ensemble cela me paraît correct mais il faut être vigilant sur la rédaction
Soit \(x\in]1,+\infty[\). La fonction f est continue sur \([x-1;x]\), dérivable sur \(]x-1;x[\) et du fait de la décroissance de f',
- \(\forall\,t\in]x-1;x[,f^{,}(x)<f^{,}(t)<f^{,}(x-1)\) donc à priori : \(\forall\,t\in]x-1;x[,f^{,}(t)>f^{,}(x)\), donc si on applique l'inégalité des accroissements finis à cette fonction entre x-1 et x, il vient :
\(f(x)-f(x-1)>f^{,}(x)[(x-(x-1)]\) et on retrouve bien l'inégalité demandée

[Benjamin]

Merci, sa ma beaucoup aider.