SOS-MATH

Bonjour,

Est ce que quelqu'un pourrait m'aider? Les partie Iet II sont indépendantes.
PartieI:
(Un) et (Vn) sont les suites définies surN * par :
Un= 1 + (1/2^3) + (1/3^3)+.......=1/n^3 et Vn= Un+1/n

a) Démontrer que (Un) et ( Vn) sont adjacentes.
b) En déduire que les suites (Un) et (Vn) convergent vers une même limite.

Partie II:
(Un) et (Vn) sont les suites définies pour tout entier n>ou=1 par:
Un= 1+(1/2!)+(1/3!)+....+1/n! et Vn = Un + 1/n!
a) Démontrer que (Un) et (Vn) sont adjacentes.
b) En déduire que les suites (Un) et(Vn) convergent vers une même limite.
c) Donner des valeurs approchées de U10 et V10.
d) En déduire un encadrement de la limite commune des deux suites.


Merci d'avance!
Je sais pas comment faire pour étudier le sens de variation de Un et Vn .

Bonjour,
le sens de variation de Un s'obtient en faisant la différence
\(U_{n+1}-U_n=\left(1+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{n^3}+\frac{1}{(n+1)^3}\right)-\left(1+.....+\frac{1}{n^3}\right)=\frac{1}{(n+1)^3}>0\) donc (Un) est croissante.
De même forme la différence \(V_{n+1}-V_n=U_{n+1}-U_n+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{(n+1)^3}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\), mets tout cela au même dénominateur, développe, réduis puis étudie son signe