Question de cour

[Florent]

Bonsoir,
j'aimerais être sur de moi.
Lorsque l'on passe dans une démonstration d'une ligne de calcul à une autre en mettant le signe de l'intégral est-ce une implication ou bien une equivalence. Personellement je pense que c'est une implication.
Par exemple sur [0;1] et pour tout n de N* pour passer de :
$f(x)<f(x)e^{x/n}<f(x)<e^{1/n}$
à $\int_{0}^{1}f(x)<\int_{0}^{1}f(x)e^{x/n}<\int_{0}^{1}f(x)e^{1/n}$.

De même j'ai une autre question: quand utilise t-on la positivité ou bien la croissance d'une fonction lorsqu'on prouve quelque chose.
Merci boen et bonne soirée.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Florent,

En effet c'est bien une implication, il n'y a pas équivalence
Par exemple si on intègre $x$ sur [0, 1] et si on intègre 3/4 sur le même intervalle, la seconde intégrale est supérieure à la première et pourtant $x$ n'est pas toujours inférieur à 3/4 entre 0 et 1.

On utilise la croissance et la positivité en général pour démontrer que l'intégrale de $a$ à $b$ de $f$, est égale à l'aire du domaine comprise entre l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.

bonne continuation

[Florent]

Bonsoir,
merci pour votre réponse.
Concernant la deuxième je me demandais justement quand fallait-il utiliser la positivité et quand fallait-il utiliser la croissance car par exemple l'exponentielle est positive et croissante.
Merci d'avance et bonne soirée.