SOS-MATH

Bonjour voilà j'ai un exo à faire et je suis bloqué à une question.

On considère la suite (Un) définie sur N par Uo=1 et Un+1=Un*e^-Un=f(Un) avec f(x)=xe^-x
1) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, O<Un<1.
2)Montrer que (Un) est décroissante.
3)Justifier que (Un) converge puis déterminer sa limite.
4)Montrer par récurrence que Un+1=e^-Sn où Sn est la somme Uo+U1+U2+...+Un. Quelle est la limite de la suite (Sn) ?

Voilà j'ai réussi à faire la question 1 et 2 mais à la question 3) Un converge parce qu'elle es décroissante et qu'elle est minorée mais je ne sais pas comment déterminé la limite. Je connais le théorème où une suite qui converge vérifie f(l)=l mais je ne sais pas comment l'appliquer.
Merci d'avance pour votre aide.

D'accord j'ai bien compris maintenant je n'arrive pas à faire la question 4 la partie sur la récurrence. Cela veut dire quoi de montrer Un+1=e^-Sn ? Est ce que ça veut dire U1=e^-So ?

Bonsoir Patrick,

Votre relation vous donne pour tout n : \(u_{n+1}=e^{-S_n}=e^{-(u_n+u_{n-1}+...+u_0)}\)
Donc on a bien \(u_{1}=e^{-S_0}=e^{-(u_0)}\)
mais aussi \(u_{2}=e^{-S_1}=e^{-(u_1+u_0)}\)
etc ...

SoSMath.

D'accord j'ai compris ! Mais pour calculer la limite j'utilise donc la propriété de f(l)=l donc e^-x=x
ln(e^-x)= ln x
-x = ln x
0 = ln x + x
Et après je ne sais plus quoi faire, pouvez vous m'aidez ?

Bonjour,
Si tu as trouvé la limite de la suite \((U_n)\) et que tu as prouvé que \(U_n=e^{-S_n}\) alors la convergence de \((U_n)\) te donne la convergence de la suite \((e^{-S_n})\) puis, comme le logarithme est une fonction continue sur \(\mathbb{R}^{*}_{+}\), par composition des limites, tu retrouves la limite de \(({-}S_n)\), puis celle de \((S_n)\)