SOS-MATH

Bonjour,
j'ai un exercice où je bloque un peu car j'ai du mal avec les espaces et les volumes.
On considère un cube ABCDEFGH d'arete de longueur 4.
On note I le centre de la face ADHE, J celui de la face ABCD et K le milieu du segment [IJ].
L'espace est rapporté au repère orthonormal (A;(1/4)\(\vec{AB}\),(1/4) \(\vec{AD}\),(1/4)\(\vec{AE}\))

1) Déterminer les coordonnées des points I,Jet K dans ce repère.
2) Démontrer que les points A,C et K ne sont pas alignés.
3a) Démontrer que le plan médiateur du segment [IJ] est le plan (AKG)
b) Déterminer une equation cartésienne du plan (AKG)
c) Vérifier que le point D appartient au plan (AKG)
4) On veut montrer que K est barycentre de A,D et G.
Soit L le centre du carré DCGH
a) Démontrer que K est le milieu de [AL].
b) Démontrer que K est le barycentre de A,D et G affectés de coefficients que l'on précisera.
5) Soit R symétrique et orthogonal de J par rapport au plan (EFGH) et le vecteur \(\vec{u}\)=(1/2) \(\vec{AE}\)+(1/4)\(\vec{FC}\)-(3/4)\(\vec{HF}\).
a) Déterminer les coordonnées de R et \(\vec{u}\), ainsi qu'une représentation paramétrique de la droite D passant par R de vecteur directeur \(\vec{u}\).
b) Déterminer l'intersection de D et du plan (AKG).
c) Calculer la distance R au plan (AKG)
d) Déterminer l'intersection du plan (AKG) avec la sphere de centre R et de rayon 6. En déterminer tous les éléments

Voici ce que je propose :
1) I(0;2;2)
J(2;2;0)
K(1;2;1)
2) Il faut déterminer que \(\vec{AG}\) et \(\vec{AK}\) sont non colinéaires.
On trouve \(\vec{AG}\)(4;4;4) et \(\vec{AK}\)(1;2;1)
Or 1/4 n'est pas égal à 2 donc ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc A,G et K ne sont pas alignés.
3a) P plan médiateur de [IJ]<-> P et \(\vec{IJ}\) orthogonaux et K appartient à P
Mais ensuite je ne vois pas comment conclure à cette question
3b) \(\vec{IJ}\) (2 ;0 ;-2)est un vecteur normal à plan (AKG) donc on a :
2x-2z=d
Et comme K appartient à (HKG) et \(\vec{IJ}\) passe par K on trouve :
(AKG) : 2x-2z=0
3c) On vérifie et ça correspond
4a) pas de problème
4b) pas de souci on trouve (K,4) barycentre de (G,1), (D,1) et (A,2).
C’est pour la e) que je bloque .
Merci d’avance et bonne journée.

Bonsoir Gilles,

Je ne vois pas de question 4 e) ...

A tout de suite, le reste me semble correct.

Bonsoir,
Non en fait c'est pour la question 5 que je bloque.
Merci d'avance

Re Bonsoir,

Les coordonnées de R sont (2, 2, 8).

Calcule les coordonnées de \(\vec{u}\) et déduis-en le système qui définit la droite D si et seulement si \(\vec{MR}=t\vec{u}\).

Ce qui va te donner un système de trois équation de paramètre t.

Bonne continuation

En fait ce que je n'arrivais pas c'était de trouver les coordonnées de R. Comment avez vous procédé?
Merci d'avance.

J'ai aussi beaucoup de mal pour les coordonnées du vecteur u.
Pour la côte pas de souci je trouve 2 mais pour le reste je ne vois pas du tout.
Merci d'avance et bonne soirée.

Bonsoir,

R est le symétrique de J par rapport à EFGH, donc on trace l'axe du cube passant par J, il est perpendiculaire à EFGH et passe par le centre J' de EFGH puis on reporte sur cet axe, la distance JJ' de l'autre côté du plan.

A tout de suite

Re,

Pour \(\vec{u}\), tu as \(\vec{u}=\frac{1}{2}4\vec{k}+\frac{1}{4}(4\vec{i}-4\vec{k})+\frac{3}{4}(4\vec{i}-4\vec{j})\) déduis-en le coordonnées de \(\vec{u}\).

Tu peux en déduire le système d'équations paramétriques, de paramètre t, de la droite D.
Puis tu remplaces x(t), y(t) et z(t) dans l'équation du plan AKG tu peux ainsi calculer t et en déduire le point d'intersection.

Bonne continuation.

Merci, je pense avoir compris mais pour le vecteur u n'est-ce pas plutot à la fin (3/4) (4j(vect) -4 i(vect) ?
Merci d'avance.

Bonsoir,

\(\vec{HF}=\vec{HG}+\vec{HE}=4\vec{i}+4(\vec{-j})=4\vec{i}-4\vec{j}\).

Bonne fin d'exercice

En fait j'avais compris. Comme j'avais transformer HF et GF car c'est -HF ça donne ce qu'il faut.
Sinon pour être sur de ne pas avoir fait d'erreur j'ai trouvé u(-2;3;1) cela vous semble t -il correcte?
Merci et bonne soirée.

Bonsoir,

Il me semble qu'hier j'avais trouvé la même chose.

Bonne fin d'exercice