SOS-MATH

Bonjour, j'ai un exercice qui me pose quelques problemes.
Voici l'enonce (d'avance je m'escuse, je ne sais pas ecrire en tex):

Partie A:

On donne un entier naturel n strictement positif, et on considere l'equation differentielle:
(En) y' + y = ((x^n)/n!)x e^(-x)
a) on fait l'hypothèse que deux fonctions g et h définies et dérivables sur R, verifient pour tout x reel :
g(x)=h(x) e^(-x)
alpha) Montrer que g est solution de (En) si et seulement si, pour tout reel , h'(x)= (x^n)/n!
beta) En deduire une fonction h associée à une solution g de (En), sachant que h(0)=0. Quelle est alors la fonction g ?
b) Soit z une fonction dérivable sur R.
alpha) Montrer que : z est solution de (En) equivaut a z-g est solution de l'equation : (F) y'+y = 0.
beta) Resoudre (F)
Y) Determiner la solution generale z de l'equation (En).
g) Determiner la solution f de l'equation (En) verifiant f(0)=0.

Partie B:

Le but de cette partie est de demontrer que :

lim (quand n tend vers + inf) de l'ensemble des n à partir de k=0 de (1/k!)=e. (on rappelle par convention que 0!=1).
a) On pose, quelque soit x reel, f(o) = e^-x, f(1)= x e^-x
alpha) verifier que f1 est solution de l'equation differentielle: y'+y=f0
beta) Pour tout entier strictement positif n, on definit la fonction fn comme la solution de l'equation differentielle: y'+y= f(n-1) verifiant fn(0)=0.
En utilisant la partie A, montrer par recurrence que, pour tout x reel et tout entier n>1 : fn(x) = ((x^n)/n!) x e^(-x)
b) Pour tout entier naturel n, on pose: In = integrale (de 0 a 1) f(x) dx.(on ne cherchera pas a calculer In)
alpha) Montrer que, pour tout entier naturel n et pour tout x element de l'intervalle [0;1], on a :
0<(ou egal) fn(x)<(ou egal) (x^n)/n!
En deduire que 0 <(ou egal) In<(ou egal) 1/n!, puis determiner la limite de la suite (In)
beta)Montrer, pour tout entier naturel k non nul, l'egalite: Ik - I (k-1)= - (1/k!) e^(-1)
Y) Calculer I(0) et deduire de ce qui precede que : In= 1 - l'ensemble des n à partir de k=0 de (e^-1/k!).
g) Conclure.
E) Determiner, grace a la calculette ou un tableur, le plus petit entier naturel N tel que, pout tout n>(ou egal)N,
e-l'ensemble des n à partir de k=0 de (1/k!)<(ou egal) 10^-10.

Voici ce que je propose pour la premiere question:

a)alpha) On a, g est solution de (En) equivaut a g'(x) +g(x)= ((x^n)/n!) e^(-x) pour tout reel x.
Pour tout reel x, on a : g'(x) +g(x)= (h(x)e^(-x))' + h(x)e^(-x)
= - h(x) e^(-x) + h'(x)e^(-x) + h(x) e^(-x)
= h'(x) e^(-x) car g est solution de (En)
On a donc:
Pour tout reel x: e^(-x) h'(x) = ((x^n)/n!) e^(-x)
soit h'(x)= x^n/n!
on a donc bien :
g est solution de (En) equivaut à h'(x)= x^n/n! pout tout x reel.
Pour la question beta je bloque.
Merci de bien vouloir m'aider,
Joe

Bonjour Joe,

Pour la question a beta), on veut trouver h. Or tu connais h'.
Donc il faut trouver h sachant que h'(x)= (x^n)/n!
Tu peux conjecturer en prenant des valeurs pour n ...

SoSMath.

Bonjour,
Je ne suis pas trop sur de moi mais voici ce que j ai fait:
beta) On prend n=2
h'(x)= x^2/2
donc h(x)= x^3/6
donc h(x)= x^n+1/(n+1)!
b)alpha) Soit z une fonction derivable sur R
(z-g)'+(z-g)=0
soit z'-g' +z-g=0
soit z'+z=g'+g
soit z'(x) + z(x) = (x^n/n!) e^x pour tout reel x
soit z est solution de (E)
béta) Les solutions de l'equation differentielle sont les fonctions de la forme:
h: R--> R
x--> C exp(-x)
ou c appartient a R
Y) la solution generale de z de l'equation (En) est:
z: R--->R
x---> C exp(-x) - h(x) exp(-x)
ou c appartient a R
g) C e^0- h(0) e^0=0
soit c=0
Donc la solution de l'equation (En) verifiant f(0)=0 est
f: R--->R
x ---> - ((x^n+1)/(n+1)!)e^(-x)
Est ce juste ?
Meri,
Joe

Bonsoir :

Tu ne parles pas de la question a) - \(\alpha\). Donc je supposes que tu as su répondre.
Pour la question a) - \(\beta\) tu peux t'inspirer de ton exemple mais tu dois établir le résultat dans le cas général.
Et il y a une erreur dans ta détermination de la solution générale z de l'équation \((E_n)\).
Pour le reste ta démarche est correcte.

Bonne continuation.

Bonsoir,
Merci pour votre réponse.

Je voulais savoir tout d'abord si ma justification de la question a) beta) était juste.

Sinon si j'ai bien compris la réponse à la question Y) est :
La solution générale z de l'équation (En) est :
z : R -> R
x associe : \(e^{-x}(c+h(x))\)

J'attends votre confirmation pour finir la partie A.

J'ai cependant commencé la partie B :
a) On pose pour tout x appartenant à R, \(f_0(x)=e^{-x}\) et \(f_1(x)=x*e^{-x}\)
alpha) \(f_1\) est le produit d'une fonction affine (continue et dérivable sur R) par la composée d'une autre fonction affine par une fonction exponentielle (continues et dérivables sur R). Par conséquent \(f_1\) est dérivable sur R.

On a pour tout x appartenant à R :
\(f_1\)'\((x)=e^{-x}(1-x)\) (je ne vous écris pas les justifications mais j'ai écrit le détail sur mon brouillon)

De plus pour tout x appartenant à R :
\(f_1\)'(x)\(+f_1(x) = x*e^{-x} + e^{-x}(1-x)\) = \(e^{-x}\) = \(f_0(x)\)

Donc \(f_1\) est solution de cette équation différentielle.

Je n'ai pas très bien compris la question suivante.

Joe

Bonsoir :

Ta correction est bonne.
J'avoue que j'ai du mal à lire l'énoncé de la partie B (le tout début au moins) mais ce que tu as écrit est correct.
Bonne continuation.

Bonsoir,

Je vais vous réécrire l'énoncé :

Le but de cette partie est démontrer que : \(\lim_{n\rightarrow +\infty } \left et=e\)


a) On pose pour tout x appartenant à R, \(f_0(x)=e^{-x}\) et \(f_1(x)=x*e^{-x}\)
alpha) Vérifier que \(f_1\) est solution de l'équation différentielle : y'+y=\(f_0\)
beta) Pour tout entier strictement positif n, on définit la fonction \(f_n\) comme la solution de l’équation différentielle : y’ + y = \(f_{n-1}\) vérifiant \(f_n\)(0)=0.
En utilisant la Partie A, montrer par récurrence que, pour tout x réel et tout entier n >1 :
\(f_n(x)=\frac{x^n}{n!}e^{-x}\)

b) Pour tout entier naturel n, on pose : \(I_n=\int_{0}^{1} f_n(x){dx}\). (On ne cherchera pas à calculer In.)
alpha) Montrer que, pour tout entier naturel n et pour tout x élément de l’intervalle [0 ; 1], on a :
\(0\leq f_n(x)\leq \frac{x^n}{n!}\)

En déduire que : \(0\leq I_n\leq \frac{1}{n!}\) puis déterminer la limite de la suite (In) avec n entier naturel.

beta) Montrer que I_k - I_{k-1} = \frac{-1}{k!}e^-1 pour tout k entier non nul.
y) Calculer \(I_0\) et déduire de ce qui précède que : \(I_n=1-\sum_{k=0}^{n}{\frac{e^-1}{k!}}\).
g) Conclure
e) Déterminer, grâce à la calculette ou un tableur, le plus petit entier naturel N tel que :
Pour tout \(n\geq N\), \(e-\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}}\leq 10^{-10}\).

Normalement il n'y a pas d'erreurs.

Bonsoir : J'ai un peu de mal avec cette partie. Que représente t ?

"Le but de cette partie est démontrer que : \(\lim_{n\rightarrow +\infty } \left et=e\)".

Quelle est ta demande pour cette partie ?

Bonne continuation.

Bonsoir,

Excusez-moi j'ai commis une erreur en recopiant la limite est :

\(\lim_{n\rightarrow \infty } \left \sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}}=e\)

Je n'ai pas très bien compris comment démarrer la question a) beta)

Merci d'avance

Bonjour Joe,

Pour la question Ba.béta), on demande un raisonnement par récurrence ...
sais-tu faire ?

SoSMath.

Bonjour,
voici ce que je propose:
a)beta) On veut prouver que pour tout réel x, et pour tout n de N*, \(f_{n}\)=((x^n)/n!)e^(-x)
On pose : pour tout réel x, et pour tout n de N*, (\(H_{n}\)): \(f_{n}\)=((x^n)/n!)e^(-x)
Initialisation: pour n=1
\(f_{1}\)=(x/1!) e^(-x)
= xe^(-x)
Donc (\(H_{1}\)) est vraie.
Herédité
On veut prouver que pour tout n de N*, ((\(H_{n}\))->(\(H_{n+1}\))
On suppose que (\(H_{n}\)) est vraie;
on veut en déduire que : (\(H_{n+1}\)): \(f_{n+1}\)=[(x^(n+1))/(n+1)!] e^(-x)
On a: \(f_{n+1}\)(x) = \(f_{n}\)(x) * x/(n+1)
=((x^n)/n!)e^(-x)* x/(n+1)
=[(x^(n+1))/(n+1)!]e^(-x)

A partir de on a je ne suis asolument pas sur.

Sinon j'ai commencé la b)alpha)
On a pour tout x de ]0;1] et pour tout n de N on a:
0<x<(ou égal)1
soit -1<-x< (ou égal) 0
soit x^n *e^(-1)< x^n *e^(-x)< (ou égal) x^n
soit [(x^n)/n!]e^(-1) < [(x^n)/n!] * e^(-x)< (ou égal) [(x^n)/n!]


Cependant je bloque car je ne trouve pas exactement l'encadrement demandé à savoir:
0< \(f_{n}\)<(x^n)/n!

J'ai continué en utilisant donc 0< \(f_{n}\)<(x^n)/n! pour encadrer \(I_{n}\)
On intégre et je trouve au final : 0 < \(I_{n}\)< 1/(n+1)!
Mais je ne vois pas trop comment trouver 1/n!

Merci d'avance. Pour la suite (la limite) et les questions suivantes je bloque complétement.
Merci d'avance et bonne soirée.

Bonsoir Joe,

tu peux montrer que pour x de [0;1], on a : \(\frac{1}{e}\leq{}e^{-x}\leq{1}\).

Avec cela tu dois pouvoir prouver que 0< \(f_n(x)\) <(x^n)/n!

De plus, (n+1)! > n! donc \(\frac{1}{(n+1)!}<\frac{1}{n!}\).

SoSMath.

Merci bien,
concernant la limite comment puis-je faire?
De même je bloque pour la béta)
Merci d'avance car je dois rendre ce dm mardi et je suis un peu perdu.
Bonne soirée

Joe

Joe,

Pour la limite de In, utilise le théorème d'encadrement (th des gendarmes).

Pour la question béta, utilise le fait que \(f_k\) est soulition de \(y^,+y=f_{k-1}\) soit \(f_k-f_{k-1}=f_k^,\).

SoSMath.

Merci beaucoup !!
Sinon qu'avez vous pensez de ma récurrence pour la a)béta)?
Merci d'avance
Joe