SOS-MATH

Bonjour voilà j'ai un soucis avec un devoir maison de spécialité maths sur le décryptage pouvez-vous m'aider je vous en serai très reconnaissante.
Voici l'énoncé,
Un cryptalaniste doit déchiffrer le message suivant :
YM MGGKAM MGN GMYZMN en sachant seulement qu'il s'agit d'un cryptage affine du type y congrue à ax+b (mod.26) où x est le rang de la lettre avant le cryptage (A a le rang 0, ...)et où y est le rang de la lettre obtenue après cryptage (a et b entiers naturels ) .
Sachant que les lettre les plus fréquentes en français sont le E , puis le S , il fait donc l'hypothèse que le M correspond à E et le G à S .
1/ Démontrer que la détermination de a et de b revient à résoudre le système :
12 congrue à 4a+b (mod.26) E est transformé en M
6 " " 18a+b (mod.26) S " " " en G
Pour cette question je pense avoir trouvé mais je ne sais pas vraiment comment redigé ma réponse :
Si le cryptanaliste pense que M correspond à E alors comme M est au rang 12 et E au rang 4 on a y=12 et x=4 ( M se transforme en E ) donc en remplacant on a 12 congrue à 4a+b (mod.26) il en est de même S est transformé en G d'où 6 congrue à 18a+b (mod.26)
2/a- En retranchant nembre à nembre les 2 congruences , démontrer que : 14a=-6+26µ où µ est un entier relatif .
D'après les opérations sur les congruences comme on a deux congruences avec le même module on peut retrancher membre à membre est-ce juste ?

d'après la division euclidienne 12=26u+4a+b d'ou 12-4a-b=26u
de même 6-18a-b=26u
soit 6-18a-b=12-4a-b donc 14a=-6 et là je suis bloquée je ne sais pas comment faire pour trouvé 14a=-6+26u
b- En déduire que 7a= -3+13µ

c- Résoudre l'équation 13µ-7a =3 avec µ et a appartiennent à l'ensemble Z.
Déterminer a , on prendra la plus petite solution positive .
d- Déterminer b13-7a=3
soit 13u-7v=1
avec l'algorythme d'euclide, je trouve u=-1 et v=-2
donc 133u-73v=3
ce qui nous fait: 13-3-7-6=3
donc on a:
13-7a=13-3-7-6
13(+3)=7(a+6)
Donc 7 divise 13(+3) et comme 7 est premier avec 13 alors d'apres le théoreme de Gauss, 7 divise (+3)
on a alors:
7k=(+3)
=-3+7k
et de meme a=-6+13k
Mais voilà maintenant je ne vois pas comment déterminer a et b. Sachant qu'on recherche un moyen de décrypter.

3/ Décrypter le message .
Merci pour votre aide future Olympe

Bonjour ,

Pour 2)a) tu soustrais les 2 congruences ce qui implique que 6 congru à -14a ( modulo 26), et d'après la définition du cours ça signifie que 6+14a est divisible par 26, ce qui signifie que il existe un entier u tel que ........

b) il suffit de diviser par 2.

c)d)on te dit de prendre la plus petite valeur de a, donc tu prends a=7 tu en déduis b.

Tu testes avec les lettres E et S, puis tu décryptes ton message.

sosmaths

Bonjour merci de m'avoir répondu,

Voilà je ne suis pas sure de tout comprendre car je trouve a=13k-6 et je dois prendre la plus petite valeur de a telle que a soit premier avec 26 ert vous me dite de prendre a=7 or la plus petite valeur de a c'est 3 PGCD(3;26)=1 non ? Pouvez m'indiquer pourquoi je ne comprend pas le résonnement et me donner plus d'explications si cela ne vous ennui pas ?
Mes remerciements et salutations distinguées, Olympe

tu as trouvé que a s'écrivait : a=13k-6, k étant un entier.

Encore on te demande, parmi toutes ces valeurs de trouver la plus petite valeur ( positive , je suppose). Donc c'est a=7 en faisant k=1.

En remplaçant a par sa valeur dans 4a+b=12 (modulo 26) et dans 18a+b=6 (mod 26) tu vas trouver b=10 ( par exemple)

Donc y=7x+10

Ensuite tu peux décrypter le message.

sosmaths

Bonjour merci de votre aide après avoir réfléchit sur le sujet où vous m'avez guidé je reste cependant encore dans le flou.
En effet je ne parvient pas encore à comprendre comment trouver le valeur de b.

J'ai bien compris pourquoi a était égal à 7 mais ensuite je ne parvient pas à déterminer b car :
12 congrue à 4a+b (mod.26) signifie 12=26u+4a+b d'ou 12-4a-b=26u
6-18a-b=26u or en remplacant a par 7 et en essayant de résoudre le système 12=26u+4a+b et 6=26u+18a+b je trouve des équation incompatibles et ceal ne marche pas je ne vois donc pas comment trouver b à l'aide des congruences que manifestement je ne maitrise pas totalement !

Merci de m'indiquer une piste de reflexion et de m'expliquer où mon résonnement est erroné, je vous en serai très reconnaissante. Olympe.

Bonjour Olympe,

4a+b=12 (modulo 26) or a = 7, donc
28+b= 12 (modulo 26)
26 + 2+ b = 12 (modulo 26)
soit 2+ b = 12 (modulo 26)
soit b = 10 (modulo 26)

Pour la deuxième équation :
18a+b=6 (mod 26) or a = 7, donc
126+ b = 6 (mod 26)
26*5-4 + b = 6 (mod 26)
-4 + b = 6 (mod 26)
soit b = 10 (modulo 26)

SoSMath.

Bonjour,

Merci infiniment pour votre aide vous m'avez permis de comprendre et de résoudre enfin mon problème je vous souhaite un excellent week-end avec mes remerciement sincères Olympe

Merci et à bientôt peut-être sur SoS-Math