SOS-MATH

Bonjour

Je suis en Terminale S et j'ai un exercice type bac à faire sur la fonction logarithme. Je bloque aux premières questions et cela m'empèche donc de faire la suite.

Enoncé de l'exercice :

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; +∞[ par :

f(0)=1 et f(x) = 1/2x²(3-2ln(x) ) + 1 si x sup à 0

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal. (O,i, j)

1.a) Calculer limf(x) en 0 et que peut on en déduire pour la fonction f ?

Donc j'ai trouvé qu'il s'agissais d'une forme indéterminée (0 x ∞ ) qu'il faut lever en transformant l'expression de f.
J'ai donc développé la fonction f tel que f(x)= 3/2x² - xlnx +1 puisqu'on connaît les limites par croissance comparé : lim xlnx = 0 en x tend vers 0. J'aboutis avec ce raisonnement à lim f(x) = 1 quand x tend vers 0. Mais j'ai conscience que cela est faux. Je ne sais donc pas comment calculer cette limite...

b) Déterminer la limite de f en +∞ :

Même problème, car forme indéterminée que je ne vois pas comment lever...


Merci d'avance pour votre aide :) .

Bonjour,
Si j'ai bien compris,
\(f(x)=\frac{1}{2}x^2(3-2ln(x))\)
Votre limite en 0 est juste, c'est bien 1.
Avez-vous tracé la courbe avec votre calculatrice? Cela vous confirmera la réponse.

A l'infini, il n'y a pas de forme indéterminée si vous prenez l'expression donnée dans le texte.

\(\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{2}x^2 = .......\)
\(\lim_{x \to +\infty}(3-2ln(x))= .......\)

Vous obtenez deux limites infinies donc le produit a aussi une limite infinie. A vous d'en trouver le signe

Bon courage

Merci Beaucoup de votre aide, et j'ai effectivement trouvé que la limite en +∞ de f(x) est -∞ ! :)

On me demande ensuite de démontrer la dérivabilité de cette fonction. Je pense qu'il faut utiliser le théorème disant que lim x ->a f(x)-f(a) / x-a = f'(a). Mais je ne vois pas trop comment car on ne connaît pas encore f'(x) et on nous demande de le calculer uniquement après...

Merci d'avance!

Bonjour Louise,

Je ne pense pas qu'il faille démontrer que f est dérivable en utilisant la définition (avec la limite ...).
Je pense qu'il faut simplement remarquer que f est le produit de fonction de référence qui sont dérivables sur un intervalle connu.

SoSMath.