SOS-MATH

Une question me bloque, mais c 'est la deuxième de l'exercice, donc c'est assez gênant; voici l'énoncé:
Étudier les variations de f et de g sur [0;+ l'infinie ].
ça c'est fait; mais la suivante:
En déduire que: pour tout x>(ou égal) 0, x-(x au carré/2)< (ou égal) ln(1+x)< (ou égal) x.

P.S: f(x)=ln(1+x)-x
et g(x)=ln(1+x)-x+x(au carré)/2.

Merci.

Bonsoir Morgane,

Tu as étudié f et g, tu as du trouver leur sens de variation.
Calcule alors f(0) et g(0) et déduis-en le signe de f(x) et de g(x) sur [0 ; +infini[.
Ensuite tu peux en déduire les inégalités demandées.

Bonne continuation

merci, mais je ne comprend pas comment on peut en déduire les inégalités d'après.

Bonjour,
tu as du obtenir que f est décroissante sur \(\mathbb{R}_+\) donc pour tout \(x\geq0\), \(f(x)\leq\,f(0)\), comme f(0)=0, on a donc pour tout \(x\geq0\), \(\ln(1+x)-x\leq0\) donc \(\ln(1+x)\leq\,x\).
De même tu as du obtenir, que g est croissante sur \(\mathbb{R}_+\),donc pour tout \(x\geq0\), \(g(x)\geq\,g(0)\), comme g(0)=0, on a donc pour tout \(x\geq0\), \(\ln(1+x)-x+\frac{x^2}{2}\geq\,0\) donc \(\ln(1+x)\geq\,x-\frac{x^2}{2}\).

Bonjour,
il faut que je montre par récurrence que: pour tout n>ou égal à 1, Un>0.

j'ai commencé par le prouver au rang 1, mais après je suis bloquée:
j'ai mis: Supposons que pour un entier p on ait: Up>0.
Montrons que pour tout p>ou égal à 1, Up+1>0.

c'est là que je suis bloquée.

P.S: Un+1=Un (1+1/2puissance n+1)

Merci.

Bonjour,

j'ai mis: Supposons que pour un entier p on ait: Up>0.
Montrons que pour tout p>ou égal à 1, Up+1>0.

Ceci n'est pas correct .
Vous devez dire :
Supposons que pour un entier p on ait: Up>0.
Montrons que Up+1>0.

Or\(U_{p+1} = U_p (1+(\frac{1}{2})^{p+1})\)
C'est un produit dont vous pouvez dire le signe de chacun des facteurs donc vous pouvez en déduire le signe.

Pour la question suivante , utilisez la propriété : ln(ab)=lna+lnb
Bon courage

je ne comprend pas comment faire pour l'autre question, car on sait juste que Un+1 = Un (1+1/2 puissance n+1).
toutefois, j'ai essayé de faire:
ln ((Un (1+(1/2 puissance n+1)) = lnUn + ln (1+1/2 puissance n+1)

mais je ne sais pas comment continuer.

Vous devez faire un raisonnement par récurrence
Montrez que ln(U1)=ln(1+1/2)
Puis supposez qu'il existe un entier p tel que ln(Up)=ln(1+1/2)+....ln(1+(1/2)^p)
et sachant que \(U_{p+1}=U_p(1+(\frac{1}{2})^{p+1})\)
en déduire la valeur de \(ln(U_{p+1})\) en vous rappelant que lnab=lna + lnb
A bientôt

Merci.
Maintenant, je n'arrive pas à répondre à cette question:

On pose Sn = 1/2 + 1/2² + 1/2³ + ... + 1/2puissance n
et Tn = 1/4 + 1/4² + 1/4³ + ... + 1/4puissance n
Calculer Sn et Tn en fonction de n. En déduire lim Sn en + l'infinie, et lim Tn en + l'infinie.

Avant j'ai démontrer que Sn-1/2 Tn< ou égal à ln Un< ou égal à Sn.

Merci.

j'ai pensé qu'il fallait faire:
Sn = n (1/1/2 puissance n) / (1-1/2)

est-ce la réponse ?

Merci.

Bonsoir,
ton deuxième message me paraît plus intéressant : tu as la somme des termes d'une suite géométrique de premier terme \(v_1=\frac{1}{2}\) et de raison \(q=\frac{1}{2}\).
Donc la somme est donnée par \(S_n=v_1\times\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{1}{2}\times\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}\)
A toi de retrouver la limite. Le travail est identique pour Tn.

Bonsoir,
maintenant il faut démontrer que la suite Un converge.
Je viens de démontrer qu'elle est strictement croissante, mais je n'arrive pas à démontrer qu'elle est majorée.

Merci.

A partir du moment où tu as l'expression de \(u_n\) en fonction de n, cela se comporte comme une fonction :
On calcule la limite comme une fonction : si celle-ci est finie, la suite converge. Il n'y a pas besoin dans ce cas de faire croissante+majorée.