SOS-MATH

bonjours,
On a une suite :Un=(10^n)/n!
1-prouver que (Un) converge vers 0
2-plus generalement prouvez que a >1,la suite (a^n/n!)converge vers zero.
merci

Bonjour,
Qu'as tu cherché ? On ne va pas te faire l'exercice à ta place...
Pour te faire démarrer il faut chercher à majorer le terme de ta suite :
On se place avec n assez grand, n supérieur ou égal à 10
\(n!=1\times2\times3\times...\times10\times11\times.......\times\,n\) donc \(n!\geq1\times2\times10\times11\times11\times11\times...\times11\)
soit \(n!\geq10!\times11^{n-10}\)
Ensuite on réinjecte cette minoration dans la suite, cela devient une majoration :
et en écrivant : \(\frac{10^n}{n!}\leq\frac{10^{10}\times10^{n-10}}{10!\times11^{n-10}}\)
donc on a \(\frac{10^n}{n!}\leq\frac{10^{10}}{10!}\times\left(\frac{10}{11}\right)^{n-10}\) et la on a majoré la suite par une suite géométrique de raison \(\frac{10}{11}<1\)
Voilà...

pourquoi n! est superieur a 11 x 11x 11x...x11 ?(pourquoi 11?)

Bonjour,
Pourquoi 11 ? J'ai pris le premier entier supérieur à 10, pour avoir une fraction \(\frac{10}{11}<1\),pour que l'on puisse obtenir le terme d'une suite géométrique convergente, or on sait qu'une suite géométrique est convergente si sa raison est inférieure à 1.
Je n'ai pas dit que \(n!>11\times11\times....11\) : j'ai dit que la factorielle est composée de tous les nombres supérieurs à 11, donc je minore tous les nombres supérieurs à 11 par 11, le but étant de "transformer" une factorielle en une puissance ! donc \(1\times2\times3\times...\times\,n=1\times2\times3\times..\times10\times11\times...\times\,n>1\times2\times3\times..\times10\times11\times11\times...\times11\) donc \(n!>10!\times11^{n-10}\)
Désolé mais je ne vois pas d'explication plus simple, l'exercice n'étant pas simple lui-même !